Popov AcademyИгра на несколько ходов вперёд
Шесть лягушек.
Один свободный камень.
Попробуйте поменять команды местами. Оба цвета могут ходить в любой очередности.
Поменяй их местами
Зелёные идут вправо, синие — влево. Можно шагнуть на свободный соседний камень или перепрыгнуть через одну лягушку другого цвета. Назад нельзя.
Как думаешь, сколько ходов понадобится?
Нажмите на лягушку, чтобы сделать ход.
Нажми на лягушку, чтобы сделать ход.Tab — выбрать лягушку, Enter — прыгнуть. Ходы сохраняются на этом устройстве.
У любого успешного прохождения ровно столько же. Почему? Объяснение — ниже.
Отменённые ходы в этот счёт не входят.
Почему ходов всегда столько же?
Каждая должна встретиться с каждой
Каждая зелёная должна оказаться справа от каждой синей. Шаг на свободный камень не меняет их порядок, а прыжок меняет местами одну пару. После встречи эти две лягушки идут друг от друга и больше не встретятся.
Каждая клетка — встреча одной зелёной и одной синей Пары С1 С2 С3 З1 ↔ ↔ ↔ З2 ↔ ↔ ↔ З3 ↔ ↔ ↔ Таких пар 3 × 3 = 9. Значит, в успешном прохождении ровно 9 прыжков.
Сколько осталось пройти шагами?
Через своих прыгать нельзя, поэтому лягушки одного цвета не обгоняют друг друга. Первая зелёная идёт с камня 1 на камень 5, следующая — со второго на 6-й. Каждая проходит 4 промежутка между камнями. Синие проходят столько же влево.
Всего лягушек 6; их общий путь — 6 × 4 = 24 промежутка. Прыжки уже дали 9 × 2 = 18. Оставшиеся 24 − 18 = 6 — обычные шаги.
Не рекорд, а закономерность
9 прыжков + 6 шагов = 15 ходов
У любого успешного прохождения по этим правилам ровно столько ходов. Трудность — довести обмен до конца, не застряв. Отменённые ходы в этот счёт не входят.
А если лягушек больше?
Пусть n — число лягушек с каждой стороны. Пар будет n × n, поэтому прыжков n². Каждая из 2n лягушек проходит n + 1 промежуток; общий путь — 2n(n + 1).
Прыжки покрывают 2n² промежутков. Остаётся 2n шагов. Итого n² + 2n ходов — если удалось закончить.
Другие уровни
Следующая головоломка: Ханойская башня →
Классическая головоломка. Повод для этой версии — разбор на Proglib и игра на Min2Win. Оформление, интерактив и объяснение созданы для Popov Academy.