Часы и минуты поменялись местами — разбор задачи

Условие

Утренняя олимпиада длилась больше двух, но меньше трёх часов. В конце число часов на электронных часах совпало с начальным числом минут, а число минут — с начальным числом часов. Перехода через полночь не было. Сколько длилась олимпиада?

О задаче · 6 класс

Тема: Алгебра идей
Для кого: Малый мехмат · 6 класс
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Переведите оба времени в минуты от начала суток.

Подсказка 2

Пусть сначала было $a$ часов $b$ минут. Сравните показания в минутах: $60a+b$ и $60b+a$

Разобрать решение по шагам

Выразите разность

Пусть в начале было $a$ часов $b$ минут, а в конце — $b$ часов $a$ минут. Переведём оба показания в минуты от начала суток: $60a+b$ и $60b+a$ Перехода через полночь нет, поэтому продолжительность равна $(60b+a)-(60a+b)=59(b-a)$ минут. Числа $a$ и $b$ целые, значит, продолжительность — целое кратное $59$

Используйте границы

Между $120$ и $180$ минутами только одно такое число: $177=59\cdot3$

Проверьте возможность

Например, $08{:}11$ → $11{:}08$ Ответ $2$ часа $57$ минут. Начальные показания определять однозначно не требуется.

Разряд меняет цену цифр

01a : b60a + b минут

02b : a60b + a минут

0359(b−a)разница двух показаний

Ответ

$2\text{ ч }57\text{ мин}$

Главная идея

Переход к общей единице измерения может выявить скрытую делимость.

Как заметить эту идею в другой задаче

Часы и минуты меняются местами. Перевод обоих показаний в минуты выделяет разность цифр с одним общим множителем.

Возможная ошибка

Вычитать часы и минуты как десятичные дроби: в часе $60$ минут, а не $100$

Источник и примечания

Источник и редакция

По материалам «Юный мыслитель», Малый мехмат МГУ, 19.03.2006, 6 класс, № 3. Условие пересказано, подсказки и объяснение подготовлены Popov Academy.

Проверь себя

Подходят ли времена $09{:}12$ → $12{:}09$ Какова длительность?

Ответ к дополнительной задаче

Да, снова $2$ часа $57$ минут.

Продолжить тему: Уравнения в целых числах →

Тема, знания и приёмы

Уравнения в целых числах · Нужна школьная база

Перевод часов в минуты
Целочисленность и делимость

Приёмы решения: Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →

Условие

Выразите разность

Используйте границы

Проверьте возможность

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача