Параметр в квадратном уравнении: начните с дискриминанта

Условие

Найдите все действительные значения параметра $a$ при которых уравнение $x^2-2ax+9=0$ имеет ровно один действительный корень.

О задаче · 8–11 классы

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При каком дискриминанте квадратное уравнение имеет один действительный корень?

Подсказка 2

Коэффициент при $x^2$ равен $1$ при любом параметре: вырождения в линейное уравнение здесь нет.

Разобрать решение по шагам

Уравнение $x^2-2ax+9=0$ всегда квадратное. Поэтому условие одного различного действительного корня равносильно $D=0$

D=(-2a)^2-4\cdot1\cdot9=4a^2-36.

Отсюда

D=0\ \Longleftrightarrow\ a^2=9\ \Longleftrightarrow\ a\in\{-3,3\}.

При $a=3$ получаем $(x-3)^2=0$ при $a=-3$ — $(x+3)^2=0$ В обоих случаях ровно один различный корень; он считается один раз, хотя имеет кратность два.

Ответ

$a=-3$ или $a=3$

Главная идея

Сначала проверьте, сохраняется ли тип уравнения при всех значениях параметра. Затем переведите требование о корнях в условие на коэффициенты.

Как заметить эту идею в другой задаче

Параметр управляет числом корней. Сначала проверьте старший коэффициент, затем используйте дискриминант и проверьте граничные значения.

Возможная ошибка

Потерять отрицательное значение $a$ при решении $a^2=9$ Или применять условие $D=0$ не проверив, что коэффициент при $x^2$ не исчезает.

Источник и примечания

Учебный разбор Popov Academy · Квадратные уравнения и параметры. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.

Проверь себя

При каких значениях $a$ это же уравнение имеет два различных действительных корня?

Ответ к дополнительной задаче

Два различных корня требуют $D>0$ то есть $a^2>9$ Поэтому $a<-3$ или $a>3$ На границах $a=\pm3$ корень только один.

Тема, знания и приёмы

Приёмы решения: Разбор случаев