Popov AcademyУсловие
В комнате собрались человек. Докажите, что хотя бы у двух из них дни рождения приходятся на один и тот же месяц.
О задаче · 5–7 классы
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Предположите, что повторений месяца нет.
Подсказка 2
Тогда в каждом из двенадцати месяцев мог родиться не более чем один присутствующий.
Разобрать решение по шагам
Проверим отсутствие совпадений
Если бы в каждом месяце родился не более одного из присутствующих, людей было бы не более .
Получим противоречие
На самом деле их . Значит, хотя бы один месяц должен содержать двух или больше. Определять, какой это месяц, для доказательства не требуется.
Обобщим наблюдение
Если предмет распределить по ящикам, хотя бы в одном будет не меньше двух. Это принцип Дирихле. Здесь люди — предметы, месяцы — ящики.
Ответ
Хотя бы у двух человек месяц рождения совпадает.
Главная идея
Чтобы доказать, что совпадение существует, не всегда нужно находить его явно. Важно правильно выбрать «предметы» и «ящики».
Как заметить эту идею в другой задаче
Требуется доказать неизбежное совпадение. Сравните число объектов с числом возможных категорий.
Возможная ошибка
Пытаться определить, в каком именно месяце родилась пара. Условие этого не позволяет, но для доказательства существования это и не требуется.
Источник и примечания
Источник и редакция
Учебный разбор Popov Academy · Логика и принцип Дирихле. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.
Проверь себя
Какое наименьшее количество человек гарантирует, что хотя бы трое родились в одном месяце?
Ответ к дополнительной задаче
человек. Без тройки можно разместить максимум по два человека в каждом из месяцев — всего . Двадцать пятый обязательно создаст тройку. При гарантии нет: по два человека могут родиться в каждом месяце.
Тема, знания и приёмы
Гарантии и принцип Дирихле · Начальный вход
- Специальные формулы не нужны. Достаточно аккуратного рассуждения.
Приёмы решения: Принцип Дирихле или худший случай