Как чётность доказывает невозможность — разбор задачи

Условие

На доске написано число $7$ За один ход можно прибавить к нему $2$ или вычесть $2$ Можно ли за несколько ходов получить $100$

О задаче · 5–7 классы

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

После прибавления и вычитания двойки проверьте чётность результата.

Подсказка 2

Каждый следующий результат останется нечётным независимо от выбора знака.

Разобрать решение по шагам

Из $7$ можно получить $5$ или $9$ оба нечётные. Из любого нечётного числа прибавлением или вычитанием $2$ снова получается нечётное.

Первое число нечётно, и каждый шаг сохраняет это свойство. Поэтому сколько бы шагов ни было, $100$ чётное число, получить нельзя.

Любой итог имеет вид $7+2k$ с целым $k$ Равенство

7+2k=100

потребовало бы $2k=93$ чётное число не может равняться нечётному.

Ответ

Нет: все достижимые числа нечётны.

Главная идея

Инвариант — свойство, которое сохраняется при каждом разрешённом действии. Если в начале и в желаемом конце оно различается, переход невозможен.

Как заметить эту идею в другой задаче

Перечислять все цепочки действий трудно. Проверьте, сохраняют ли все разрешённые действия чётность или остаток при делении.

Возможная ошибка

Проверить несколько неудачных цепочек и объявить, что решения нет. Для доказательства нужно охватить все возможные цепочки.

Источник и примечания

Учебный разбор Popov Academy · Чётность и инварианты. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.

Проверь себя

Теперь разрешено прибавлять или вычитать $3$ Можно ли из $7$ получить $100$ А $101$

Ответ к дополнительной задаче

$100$ получить можно: $7+31\cdot3=100$ Число $101$ нельзя, потому что $101-7=94$ не делится на $3$ Теперь сохраняется остаток при делении на $3$

Тема, знания и приёмы

Чётность · Начальный вход

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина