К содержанию

Библиотека задач / Комбинаторика и симметрия

Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Когда два раскрашенных куба одинаковы?

Условие

Каждую грань куба красят целиком в белый или чёрный цвет. Две раскраски считаются одинаковыми, если один куб можно повернуть в пространстве и совместить цвета всех граней с другим. Цвета менять местами нельзя. Сколько различных раскрасок существует?

О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Тема: Комбинаторика и симметрия
Для кого: Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Раскраски с точностью до поворота

В каждом состоянии показан представитель одного класса. Поворот меняет ракурс, но не взаимное расположение чёрных граней. Обмен чёрного и белого не считается поворотом.

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

Все статичные виды и пояснения

0 чёрных

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

1 чёрная

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

2 противоположные

Две чёрные грани противоположны. В начальном ракурсе видна одна из них, а другая находится с обратной стороны. Поворот модели позволяет осмотреть обе.

2 соседние

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

3 с противоположной парой

Две из трёх чёрных граней противоположны, третья соседняя с ними. На начальном виде одна грань противоположной пары скрыта. Противоположная пара сохраняется при любом повороте.

3 при одной вершине

Эти три грани имеют одну общую вершину. Противоположной пары среди них нет.

4: белые противоположны

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

4: белые соседние

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

5 чёрных

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

6 чёрных

Все положения этого типа совмещаются поворотом; число чёрных граней при повороте сохраняется.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разделите варианты по числу чёрных граней: от нуля до шести.

Подсказка 2

При двух чёрных гранях они либо соседние, либо противоположные. При трёх спросите, есть ли среди них противоположная пара.

Разобрать решение по шагам

01

Сначала отделите заведомо разные случаи

Поворот не меняет числа чёрных граней. Для нуля и шести чёрных граней возможна только сплошная окраска. Для одной чёрной грани все её положения совмещаются поворотом; то же верно для одной белой, то есть пяти чёрных. Это четыре варианта.

02

Разберите две и четыре чёрные грани

Две выбранные грани могут иметь общее ребро или быть противоположными. Поворот сохраняет это различие, а любые две пары одного типа совмещаются поворотом. Получаем два варианта. Раскраски с четырьмя чёрными гранями точно так же определяются расположением двух белых и дают ещё два.

03

Проверьте все случаи для трёх граней

Если среди трёх чёрных есть противоположная пара, третья грань может быть совмещена с любой из четырёх оставшихся поворотом вокруг оси этой пары: это один тип. Если противоположной пары нет, выбрано по одной грани из каждой из трёх пар противоположных. Эти три грани сходятся в одной вершине, и все такие тройки совмещаются поворотом. Это второй тип. Других случаев нет.

04

Сложите и проверьте классификацию

Всего $1+1+2+2+2+1+1=10$ раскрасок. Мы не делили $64$ на число поворотов: у разных раскрасок разное количество поворотов, оставляющих их неизменными. Классификация обходит эту ловушку.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$10$

Главная идея

При подсчёте с точностью до симметрий ищите признаки, которые сохраняются при повороте, и классифицируйте по ним.

Как заметить эту идею в другой задаче

Раскраски считаются одинаковыми после вращения. Сначала зафиксируйте число чёрных граней, затем различайте их взаимное положение: соседство или противоположность.

Возможная ошибка

Разделить $2^{6}$ на $24$ у сплошного куба все повороты дают ту же раскраску, а у других число совпадений другое.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 119, № 770. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Сколько останется вариантов, если дополнительно считать одинаковыми раскраски, полученные обменом белого и чёрного цветов?

Ответ к дополнительной задаче

$6$ Классы с $0$ и $6$ чёрными объединяются, как и классы с $1$ и $5$ По два класса с $2$ и $4$ тоже объединяются попарно. Два класса с $3$ чёрными остаются разными: дополнение к тройке у вершины снова тройка у противоположной вершины; дополнение к тройке с противоположной парой также содержит противоположную пару. Итого $1+1+2+2=6$

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Повороты куба
Противоположные и соседние грани

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →

Popov Academy · Библиотека задач

Когда два раскрашенных куба одинаковы?

https://popov.academy/library/olymp-two-color-cube/

Условие

Каждую грань куба красят целиком в белый или чёрный цвет. Две раскраски считаются одинаковыми, если один куб можно повернуть в пространстве и совместить цвета всех граней с другим. Цвета менять местами нельзя. Сколько различных раскрасок существует?

Дополнительная задача

Сколько останется вариантов, если дополнительно считать одинаковыми раскраски, полученные обменом белого и чёрного цветов?