Popov AcademyУсловие
Двенадцать ламп стоят по кругу. За ход разрешено изменить состояние любых трёх соседних ламп: горящие погасить, погашенные зажечь. Вначале горит ровно одна лампа. Можно ли добиться, чтобы горели все двенадцать?
О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Раскрасьте лампы по кругу в три цвета: красный, синий, зелёный — и повторяйте этот порядок.
Подсказка 2
Каждый ход затрагивает одну лампу каждого цвета. Что происходит с чётностью числа горящих ламп двух выбранных цветов?
Разобрать решение по шагам
Разделите круг на три группы
Раскрасим лампы циклически в три цвета, выбрав для первоначально горящей лампы красный. Благодаря тому, что делится на , даже тройка через стык конца и начала круга содержит по одной лампе каждого цвета.
Найдите сохраняющееся различие
Рассмотрим вместе красные и синие лампы. Каждый ход меняет состояние ровно двух ламп этой группы. Поэтому чётность количества горящих красных и синих ламп не меняется: их число может измениться на , или . Изначально оно равно и нечётно.
Проверьте желаемое состояние
Когда горят все лампы, горящих красных и синих будет — чётное число. Такой переход нарушил бы найденную чётность. Значит, зажечь все двенадцать невозможно.
Ответ
Нельзя
Главная идея
Если обычный подсчёт не сохраняется, попробуйте считать только часть объектов, выбранную периодической раскраской.
Как заметить эту идею в другой задаче
Операция меняет фиксированный блок соседних объектов. Подберите периодическую раскраску, чтобы ход затрагивал чётное число элементов выбранной группы.
Возможная ошибка
Считать неизменной чётность общего числа горящих ламп: при переключении трёх ламп она как раз меняется.
Источник и примечания
Источник и редакция
А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 78, № 492. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.
Проверь себя
А можно ли зажечь все двенадцать, если вначале все лампы погашены?
Ответ к дополнительной задаче
Да: переключите четыре непересекающиеся тройки (), (), (), (). Каждая лампа изменит состояние ровно один раз.
Тема, знания и приёмы
Преобразования и процессы · Нужна школьная база
- Чётность суммы
- Изменение состояний: включено и выключено
Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Раскраска