Точка гуляет, сумма расстояний остаётся

Условие

Внутри равностороннего треугольника выбрана произвольная точка $P$ Из неё опущены перпендикуляры на три стороны; их длины равны $x$ $y$ $z$ Докажите, что сумма $x+y+z$ не зависит от положения $P$ Чему она равна, если высота треугольника равна $12$ см?

О задаче · Уверенный уровень · школьники и взрослые

Тема: Геометрия и площади
Для кого: Уверенный уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Одна площадь — две записи

Высоты из точки $P$ относятся к трём равным основаниям. Сравните разбиение с высотой всего треугольника.

1. Расстояния до сторон

Отрезки $x,y,z$ перпендикулярны сторонам. Их длины могут различаться.

2. Три части площади

Соединив $P$ с вершинами, получаем три неперекрывающиеся части. Их высоты — $x,y,z$ а основания равны $a$

3. Площадь целого

Высота $h$ проведена из $C$ Сумма площадей частей равна площади целого, поэтому $x+y+z=h$

Все перпендикуляры построены по координатам. Штриховая высота $h$ добавляется только на заключительном шаге.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Соедините $P$ с тремя вершинами. Какие три площади в сумме дадут площадь исходного треугольника?

Подсказка 2

У трёх полученных треугольников равные основания — стороны большого треугольника.

Разобрать решение по шагам

Найдите величину, которая точно постоянна

Отдельные расстояния $x,y,z$ зависят от точки, поэтому прямой подсчёт неудобен. Зато площадь большого треугольника не меняется. Соединим $P$ с вершинами: внутренность разбивается на три треугольника без наложений.

Выразите площадь через расстояния

Обозначим общую длину стороны через $a$ Основания трёх частей имеют одну и ту же длину $a$ а высоты к этим основаниям равны $x,y,z$ Поэтому сумма площадей частей равна

\frac{ax}{2}+\frac{ay}{2}+\frac{az}{2}=\frac{a(x+y+z)}{2}.

Сравните с другой формулой той же площади

Если высота большого треугольника $h$ его площадь $\frac{ah}{2}$ Приравнивая две формулы и сокращая положительный множитель $\frac a2$ получаем

x+y+z=h.

Следовательно, при высоте $12$ см сумма всегда равна $12$ см, где бы внутри ни находилась $P$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$12$ см

Главная идея

Площадь может связывать меняющиеся расстояния; равенство оснований превращает взвешенную сумму в обычную.

Как заметить эту идею в другой задаче

Для внутренней точки спрашивают сумму расстояний до сторон. Соедините точку с вершинами и выразите площадь всего треугольника как сумму площадей частей.

Возможная ошибка

Предполагать, что $x=y=z$ для любой внутренней точки. Эти расстояния равны только в центре, а постоянна именно их сумма.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача о сумме расстояний до сторон равностороннего треугольника (теорема Вивиани). Самостоятельная учебная адаптация и разбор; атрибуция конкретной олимпиаде не заявляется.

Проверь себя

Пусть $P$ лежит внутри квадрата со стороной $7$ см. Чему равна сумма расстояний от $P$ до всех четырёх сторон?

Ответ к дополнительной задаче

$14$ см. Расстояния до левой и правой сторон в сумме дают ширину квадрата, то есть $7$ см. Расстояния до верхней и нижней сторон тоже дают $7$ см. Сумма четырёх расстояний равна $14$ см для любой внутренней точки.

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площадь треугольника
Основание и соответствующая высота

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Одна площадь — две записи

1. Расстояния до сторон

2. Три части площади

3. Площадь целого

Найдите величину, которая точно постоянна

Выразите площадь через расстояния

Сравните с другой формулой той же площади

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача