Библиотека задач / Раскраски

Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Т-плитки на большом квадрате

Условие

Можно ли целиком покрыть доску 50×5050 \times 50 плитками из четырёх клеток в форме буквы Т: три клетки в ряд и четвёртая под средней? Плитки разрешено поворачивать. Наложений и выходов за край быть не должно.

О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Тема
Раскраски
Для кого
Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки
Продвинутый · ориентир
Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Раскрасьте доску как шахматную. Сколько клеток каждого цвета покрывает одна Т-плитка?

Подсказка 2

Для равенства двух цветов плитки с перевесом белых нужно уравновесить плитками с перевесом чёрных.

Разобрать решение по шагам
01

Проверьте то, что не видно по площади

Всего 25002500 клеток, поэтому понадобились бы 625625 плиток. Это целое число, но площадь учитывает лишь размер. Шахматная раскраска даёт дополнительное условие: цветов на доске поровну.

02

Посчитайте вклад одной плитки

У Т-плитки центральная клетка одного цвета, а все три её соседа — другого. Поэтому плитка покрывает либо три белые и одну чёрную клетку, либо наоборот. Её перевес равен двум клеткам.

03

Сбалансируйте перевесы

Пусть плиток с перевесом белых aa, с перевесом чёрных bb. Чтобы клеток двух цветов получилось поровну, необходимо

3a+b=a+3b⟹a=b.3a+b=a+3b\quad\Longrightarrow\quad a=b.

Тогда общее число плиток a+b=2aa+b=2a чётно. Но по площади требуется 625625 плиток. Противоречие: покрытие невозможно.

Т-плитка всегда покрывает три клетки одного цвета
3 светлых + 1 тёмная

После сдвига цвета могут поменяться местами, но соотношение останется 3 к 1.

Каждая плитка приносит перевес одного цвета
011250 : 1250белые и чёрные клетки доски
023 : 1 или 1 : 3цвета в любой Т-плитке
03625 плитокнечётное число не разбить на равные группы
Ответ

Нельзя

Главная идея

Удобная раскраска позволяет проверять не только площадь, но и баланс частей каждой плитки.

Как заметить эту идею в другой задаче

Площадь делится на размер плитки, но существование покрытия не очевидно. Выберите раскраску и сравните цветовой вклад каждой плитки с балансом всей доски.

Возможная ошибка

Решить, что делимости площади на четыре достаточно для существования покрытия.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 76, № 473. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Можно ли таким же способом покрыть доску 6×66 \times 6?

Ответ к дополнительной задаче

Нет. Потребовались бы 99 Т-плиток. На доске цветов поровну, поэтому плиток двух типов должно быть поровну, а их общее число — чётным.

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →
Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

  • Клетчатая доска
  • Чётность количества клеток

Приёмы решения: Раскраска

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема

Popov Academy · Библиотека задач

Т-плитки на большом квадрате

https://popov.academy/library/olymp-t-tetromino/

Условие

Можно ли целиком покрыть доску 50×5050 \times 50 плитками из четырёх клеток в форме буквы Т: три клетки в ряд и четвёртая под средней? Плитки разрешено поворачивать. Наложений и выходов за край быть не должно.

Дополнительная задача

Можно ли таким же способом покрыть доску 6×66 \times 6?