Каждое число равно произведению соседей

Условие

Расставьте по кругу шесть различных положительных чисел так, чтобы каждое равнялось произведению двух соседних. Разрешены обыкновенные дроби. Объясните, как получить пример, и проверьте условия на стыке круга.

О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Тема: Алгебраические конструкции
Для кого: Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Пусть первые два числа $a$ и $b$ Как из равенства $b=a\cdot x$ найти третье?

Подсказка 2

Продолжайте выражать каждое следующее число через предыдущие два. Через шесть шагов последовательность замкнётся.

Разобрать решение по шагам

Выведите правило продолжения

Если два соседних числа равны $a$ и $b$ третье $x$ определяется условием $b=a\cdot x$ то есть $x=\frac ba$ Продолжая делить текущее число на предыдущее, получаем

a,\quad b,\quad\frac ba,\quad\frac1a,\quad\frac1b,\quad\frac ab.

Например, четвёртое число: $\frac{b/a}{b}=\frac1a$

Проверьте замыкание

После $\frac ab$ следующее число равно

\frac{a/b}{1/b}=a,

а после него —

\frac{a}{a/b}=b.

Поэтому последовательность повторяется через шесть позиций. Условие для каждой внутренней позиции встроено в построение; два вычисленных продолжения проверяют обе позиции на стыке круга.

Выберите разные положительные значения

Возьмём $a=2$ и $b=3$ Получим по кругу

2,\quad3,\quad\frac32,\quad\frac12,\quad\frac13,\quad\frac23.

Все шесть чисел положительны и различны. Например, для первой позиции $\frac23\cdot3=2$ для второй $2\cdot\frac32=3$ остальные проверяются тем же правилом.

Два начальных числа порождают весь круг

01a, bвыбираем и проверяем различие шести значений

02b/a, 1/aследующие два числа

031/b, a/bпоследние два; затем снова a

Ответ

$2$ $3$ $\frac{3}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$

Главная идея

При построении примера полезно сначала вывести общую форму решений, а уже потом подбирать удобные числа.

Как заметить эту идею в другой задаче

Каждый член связан произведением с двумя соседями и все числа ненулевые. Выразите следующий член через два предыдущих и проверьте, через сколько шагов пара повторится.

Возможная ошибка

Выбрать $a$ и $b$ так, что часть шести выражений совпадёт; например, $a=b$ или $a=1$ нарушает требование различности.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 84, № 531 (усиление: положительные числа). Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Можно ли выполнить условие шестью различными положительными целыми числами?

Ответ к дополнительной задаче

Нет. Перемножим все шесть равенств. Если $P$ — произведение всех чисел, слева получится $P$ а справа $P^2$ каждое число является соседом ровно два раза. Так как $P>0$ получаем $P=1$ Для положительных целых чисел это означает, что все они равны $1$ а не различны.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Умножение и деление дробей
Буквенные выражения

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →

Условие

Выведите правило продолжения

Проверьте замыкание

Выберите разные положительные значения

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача