Минусы в строках, плюсы в столбцах — разбор задачи

Условие

Можно ли заполнить таблицу $5 \times 5$ числами $+1$ и $-1$ так, чтобы произведение чисел каждой строки было отрицательным, а произведение каждого столбца — положительным? А таблицу $6 \times 6$

О задаче · Уверенный уровень · школьники и взрослые

Тема: Чётность произведений
Для кого: Уверенный уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Перемножьте все числа таблицы сначала по строкам, затем по столбцам.

Подсказка 2

Для шести строк противоречия может не быть. Попробуйте расположить все минусы в одном столбце.

Разобрать решение по шагам

Получите необходимое условие

Произведение всех $25$ чисел можно сгруппировать в пять произведений строк. Каждое отрицательно, поэтому результат отрицателен. Но при группировке по столбцам все пять множителей положительны и результат положителен. Одно число не может иметь два разных знака.

Разберите второй размер отдельно

Для таблицы $6 \times 6$ произведение шести отрицательных произведений строк положительно. Оно уже согласуется с произведением положительных столбцов. Это устраняет препятствие, но пока не доказывает существование заполнения.

Предъявите заполнение

В первом столбце поставьте шесть чисел $-1$ во всех остальных клетках $+1$ В каждой строке ровно один минус, поэтому её произведение отрицательно. В первом столбце шесть минусов, их произведение положительно; остальные столбцы состоят из плюсов. Значит, для $6 \times 6$ ответ да.

Общее произведение не зависит от способа группировки

015 строкпять отрицательных произведений дают минус

025 столбцовпять положительных произведений дают плюс

036 строкшесть минусов уже дают плюс

Ответ

$5 \times 5$ — нет; $6 \times 6$ — да

Главная идея

Отсутствие противоречия — только половина решения: существование нужно подтвердить примером.

Как заметить эту идею в другой задаче

У строк и столбцов заданы разные знаки произведений. Произведение всех клеток можно посчитать по строкам и по столбцам — результат обязан совпасть.

Возможная ошибка

Для таблицы $6 \times 6$ остановиться на том, что знаки общего произведения совпали, и не построить само заполнение.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 83, № 526 (первая задача с этим номером; адаптация к ±1). Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Для каких размеров $m\times n$ где $m$ и $n$ положительны, такое заполнение возможно?

Ответ к дополнительной задаче

Ровно при чётном числе строк $m$ Необходимость следует из знака общего произведения: произведение $m$ отрицательных строк должно быть положительным. Достаточность: поставить $-1$ во весь первый столбец и $+1$ во все остальные клетки. При чётном $m$ все столбцы имеют положительное произведение.

Продолжить тему: Чётность →

Тема, знания и приёмы

Чётность · Нужна школьная база

Чётность произведения знаков
Строки и столбцы таблицы

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →

Условие

Получите необходимое условие

Разберите второй размер отдельно

Предъявите заполнение

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача