Самое большое число из десяти цифр — разбор задачи

Условие

Из цифр $0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9$ составьте наибольшее десятизначное число, которое делится на $36$ Каждая цифра должна встретиться ровно один раз. Объясните, почему большего подходящего числа нет.

О задаче · Уверенный уровень · школьники и взрослые

Тема: Признаки делимости
Для кого: Уверенный уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Число делится на $36$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $4$ и на $9$

Подсказка 2

Сумма всех цифр фиксирована. Поэтому свободу ограничивают только две последние цифры. Сохраните самый большой возможный префикс.

Разобрать решение по шагам

Разделите условие на два признака

Поскольку $36=4\cdot 9$ а $4$ и $9$ взаимно просты, нужны обе делимости. Сумма цифр любой перестановки равна $45$ поэтому число всегда делится на $9$ Осталось добиться делимости на $4$ которая зависит только от последних двух цифр.

Сохраните максимально большие старшие разряды

Попробуем начать с $9876543$ это наибольшая возможная последовательность первых семи цифр. Остаются $0,\;1,\;2$ Их хвосты в порядке убывания начинаются с $210$ $201$ $120$ Первые два дают окончания $10$ и $01$ которые на $4$ не делятся; у $120$ окончание $20$ подходит.

Докажите максимальность

Получено $9876543120$ Любое число с меньшим одним из первых семи разрядов уже меньше него независимо от окончания. А при тех же первых семи цифрах мы проверили все хвосты, которые больше $120$ Значит, найденное число — максимальное.

Один признак выполняется автоматически, другой решает последние места

010+1+…+9 = 45делимость на 9 уже обеспечена

029876543…семь старших цифр можно сохранить

03210 → 201 → 120проверяем хвосты из 0,1,2

Ответ

$9876543120$

Главная идея

При поиске наибольшего числа сначала закрепляйте старшие разряды, а ограничения проверяйте на оставшейся части.

Как заметить эту идею в другой задаче

Нужно наибольшее число из заданного набора цифр с условием делимости. Отделите условия на сумму цифр от условий на последние разряды, сохраняя как можно больший префикс.

Возможная ошибка

Взять убывающий порядок $9876543210$ он делится на $9$ но окончание $10$ мешает делимости на $4$

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 135, № 847. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

А какое наибольшее число из тех же десяти цифр делится на $18$

Ответ к дополнительной задаче

$9876543210$ Делимость на $9$ обеспечена суммой цифр $45$ последняя цифра $0$ даёт делимость на $2$ Убывающий порядок цифр — максимум среди всех перестановок, поэтому улучшить его невозможно.

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Нужна школьная база

Десятичные разряды
Делимость на 4

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Разделите условие на два признака

Сохраните максимально большие старшие разряды

Докажите максимальность

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача