Число с четырнадцатью делителями — разбор задачи

Условие

Найдите все положительные целые числа, которые делятся на $12$ и имеют ровно $14$ положительных делителей, включая $1$ и само число. Докажите, что других ответов нет.

О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Тема: Теория чисел
Для кого: Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

У числа $p^a q^b$ где $p$ и $q$ — разные простые, число делителей равно $(a+1)(b+1)$ Почему?

Подсказка 2

Разложите $14$ в произведение целых чисел, не меньших двух. Какое разложение совместимо с делимостью на $12$

Разобрать решение по шагам

Объясните формулу числа делителей

Если

N=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k},

любой положительный делитель выбирает для каждого простого показатель от $0$ до $a_i$ Выборы независимы, поэтому число делителей равно

(a_1+1)\cdots(a_k+1).

Каждый множитель этой формулы не меньше двух.

Используйте число $14$

Разложить $14$ на такие множители можно только как $14$ или как $7\cdot2$ Значит, $N$ либо является тринадцатой степенью одного простого, либо имеет ровно два простых множителя с показателями $6$ и $1$ Первый случай несовместим с делимостью на $12=2^2\cdot3$ требующей и двойки, и тройки.

Выберите единственную расстановку показателей

Во втором случае два простых обязаны быть $2$ и $3$ Показатель двойки не меньше двух, поэтому именно он равен $6$ показатель тройки равен $1$ Получаем

N=2^6\cdot3=192.

Проверка: $192$ делится на $12$ а число его делителей равно $(6+1)(1+1)=14$

Число делителей диктует показатели степеней

0114 или 7·2возможные множители для формулы

022ᵃ·3ᵇоба простых обязательны из-за 12

03a=6, b=1двойка должна входить хотя бы в квадрате

Ответ

$192$

Главная идея

Количество делителей переводит задачу о неизвестном числе в короткий перебор показателей простых множителей.

Как заметить эту идею в другой задаче

Дано точное число делителей и обязательная делимость. Разложите число делителей в произведение и переведите множители в возможные показатели простых множителей.

Возможная ошибка

Перебирать числа подряд или забыть, что делители $1$ и само число тоже входят в требуемые четырнадцать.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 120, № 777. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Замените в условии делимость на $12$ делимостью на $18$ Каким будет ответ?

Ответ к дополнительной задаче

$1458=2\cdot3^6$ Снова нужны ровно простые $2$ и $3$ с показателями $6$ и $1$ но делимость на $18=2\cdot3^2$ теперь требует отдать показатель $6$ тройке. Делителей $(1+1)(6+1)=14$ других вариантов нет.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Разложение на простые множители
Количество положительных делителей

Приёмы решения: Разложение на множители · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →

Условие

Объясните формулу числа делителей

Используйте число 141414

Выберите единственную расстановку показателей

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача

Используйте число $14$