Четыре гири на двух чашах — разбор задачи

Условие

Подберите четыре гири целой положительной массы, которыми на чашечных весах можно взвесить любой целый груз от $1$ до $40$ г. Гири разрешено класть на обе чаши, каждую — не более одного раза за взвешивание. Докажите также, что никакие четыре гири не позволят взвесить все целые грузы от $1$ до $41$ г.

О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Тема: Конструкции и оценка
Для кого: Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если гири уже дают все разности масс от $-M$ до $M$ новая гиря должна продолжить этот отрезок без пропуска.

Подсказка 2

У каждой гири три положения: рядом с грузом, на противоположной чаше или вне весов.

Разобрать решение по шагам

Поймите роль двух чаш

Равновесие выражает массу груза как сумму масс некоторых гирь минус сумму других. Например, $8$ г можно взвесить гирями $9$ г и $1$ г: девять на одной чаше, груз и единица — на другой. Поэтому нам нужны не только обычные суммы, но и суммы со знаками.

Постройте гири без разрывов

Пусть прежние гири представляют все целые числа от $-M$ до $M$ Добавим гирю $2M+1$ Получатся три промежутка:

Новая гиря	Достижимые значения
Не используется	От $-M$ до $M$
Со знаком «плюс»	От $M+1$ до $3M+1$
Со знаком «минус»	От $-3M-1$ до $-M-1$

Между соседними целыми значениями пропусков нет. Начиная с гири $1$ получаем гири $1,3,9,27$ и границы $1,4,13,40$

Обоснуйте предел для любых четырёх гирь

Каждая из четырёх гирь имеет три положения, значит, всего не больше

3^4=81

набора положений и не больше $81$ значения разности масс. Чтобы покрыть положительные массы $1,\ldots,41$ нужны и их отрицательные значения — они получаются обменом чаш, — а также ноль. Это

2\cdot41+1=83

различных значения, что больше $81$ Поэтому границу $40$ улучшить нельзя.

Каждая новая гиря расширяет покрываемый промежуток

011покрываем массы от −1 до 1

02+3, затем +9промежутки расширяются до ±4 и ±13

03+27получаем все массы до ±40

043⁴ = 81не больше 81 различной разности

Ответ

$1$ $3$ $9$ $27$ г; максимум $40$ г

Главная идея

При построении системы измерения сочетайте конструкцию без пропусков с оценкой числа возможных результатов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Грузы разрешены на обеих чашах. Каждая гиря имеет три роли: слева, справа или не участвует. Стройте непрерывный диапазон измеримых разностей.

Возможная ошибка

Использовать только одну чашу: тогда теряются отрицательные слагаемые и возможности каждой гири.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 96, № 633 (добавлено доказательство оптимальности). Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Какую наибольшую непрерывную последовательность целых масс от $1$ г можно взвешивать пятью гирями?

Ответ к дополнительной задаче

От $1$ до $121$ г. Добавьте к $1,\;3,\;9,\;27$ гирю $81$ г: промежуток расширится с $\pm40$ до $\pm121$ Для пяти гирь не больше $3^{5}=243$ разностей; покрытие $1$ …, $122$ потребовало бы $245$ значений вместе с отрицательными и нулём. Поэтому $121$ — максимум.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Равновесие двух чаш весов
Сложение и вычитание масс
Подсчёт независимых выборов

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Поймите роль двух чаш

Постройте гири без разрывов

Обоснуйте предел для любых четырёх гирь

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача