Чёрные и белые лоскуты — разбор задачи

Условие

Мяч сшит из $32$ лоскутов: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждая сторона чёрного лоскута граничит с белым, а каждый белый лоскут граничит по трём сторонам с чёрными и по трём — с белыми. Сколько белых лоскутов?

О задаче · Уверенный уровень · школьники и взрослые

Тема: Двойной подсчёт
Для кого: Уверенный уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Один шов — две стороны

Геометрическая модель лоскутов — усечённый икосаэдр. Грани плоские; на настоящем мяче ткань выгнута. Соседство и число швов те же.

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

Чёрный пятиугольник окружён белыми шестиугольниками.

Все статичные виды и пояснения

Лоскуты

Чёрный пятиугольник окружён белыми шестиугольниками.

Границы разных цветов

Выделены ровно швы вокруг чёрных лоскутов. У каждого такого шва одна чёрная и одна белая сторона: $5\cdot12=3\cdot20=60$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Считайте только швы, разделяющие чёрный и белый лоскут.

Подсказка 2

Один чёрный лоскут даёт пять таких швов, один белый — три. Это один и тот же набор швов.

Разобрать решение по шагам

Выберите границы одного типа

Швы между двумя белыми лоскутами сейчас не нужны. Каждый шов между разными цветами имеет ровно одну чёрную и одну белую сторону. Поэтому при подсчёте через каждый из цветов он учитывается ровно один раз.

Получите отношение количеств

Пусть чёрных лоскутов $\text{Ч}$ белых $\text{Б}$ По чёрной стороне получаем $5\text{Ч}$ границ между цветами, по белой — $3\text{Б}$ Это одни и те же швы, поэтому

5\text{Ч}=3\text{Б}\quad\Longrightarrow\quad\text{Б}:\text{Ч}=5:3.

Используйте общее количество

Всего восемь одинаковых долей, а лоскутов $32$ Одна доля равна $4$ Значит, белых $5\cdot 4=20$ чёрных $3\cdot 4=12$ Проверка: $20\cdot 3=12\cdot 5=60$ границ между цветами.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$20$

Главная идея

Когда объекты связаны отношениями, подсчёт этих связей с двух сторон часто даёт нужное уравнение.

Как заметить эту идею в другой задаче

Каждая связь соединяет объект одного типа с объектом другого. Посчитайте один и тот же набор связей с двух сторон, не включая связи внутри одного типа.

Возможная ошибка

Учитывать все шесть сторон белого лоскута в равенстве с пятью сторонами чёрного: три белые стороны ведут к белым.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 79, № 497 (условие); с. 80 — пояснение. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Сколько всего швов на таком мяче, включая швы между двумя белыми лоскутами?

Ответ к дополнительной задаче

$90$ У всех лоскутов вместе $20\cdot 6+12\cdot 5=180$ сторон. Каждый шов относится к двум лоскутам, поэтому его посчитали дважды: $180\mathbin{:} 2=90$

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Пятиугольники и шестиугольники
Подсчёт общих сторон

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Один шов — две стороны

Лоскуты

Границы разных цветов

Выберите границы одного типа

Получите отношение количеств

Используйте общее количество

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача