Необычный тест на делимость на 29 — разбор задачи

Условие

У положительного целого числа удаляют последнюю цифру, утраивают её и прибавляют к оставшейся части. Например, $8439$ превращается в $843+3\cdot 9=870$ Докажите, что исходное число делится на $29$ тогда и только тогда, когда полученное число делится на $29$ Если число однозначное, оставшуюся часть считаем нулём.

О задаче · Уверенный уровень · школьники и взрослые

Тема: Теория чисел
Для кого: Уверенный уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Запишите исходное число в виде $10a+b$ где $b$ — последняя цифра.

Подсказка 2

Сравните $10(a+3b)$ и $10a+b$ Их разность особенно удобна.

Разобрать решение по шагам

Переведите правило в формулу

Последняя цифра $b$ лежит от $0$ до $9$ а $a$ — число без последней цифры. Тогда

N=10a+b,\qquad M=a+3b.

Мы ищем связь именно между этими двумя выражениями, а не пытаемся проверять множество примеров.

Получите кратную разность

Умножим новое число на $10$

10M=10a+30b=N+29b.

Следовательно, $N$ и $10M$ отличаются на число, кратное $29$ Поэтому они либо оба делятся на $29$ либо оба не делятся.

Обоснуйте сокращение множителя

Осталось заменить делимость $10M$ на делимость $M$ Числа $10$ и $29$ взаимно просты: множитель $10$ не содержит простого множителя $29$ Поэтому если произведение $10M$ делится на $29$ то $M$ делится на $29$ В обратную сторону это очевидно. Получена эквивалентность в обе стороны.

После умножения на 10 разность становится кратной 29

01N = 10a+bисходное число

02M = a+3bновое число

0310M−N = 29bключевое тождество

Ответ

Эквивалентность верна

Главная идея

Признак делимости часто получается из тождества: преобразованное число и исходное отличаются на кратное делителя.

Как заметить эту идею в другой задаче

Признак делимости отделяет последнюю цифру. Запишите число как $10a+b$ и найдите линейную связь исходного и укороченного чисел, кратную нужному делителю.

Возможная ошибка

Обосновать только направление «исходное делится — новое делится»: для полноценного теста нужны оба направления.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 137, № 861. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Проверьте этим правилом, делится ли $17284$ на $29$ не выполняя сначала деление в столбик.