Каркас куба из одной проволоки — разбор задачи

Условие

Нужно согнуть один непрерывный кусок проволоки в каркас куба с ребром $10$ см. Оба конца должны находиться в вершинах куба, в одной или разных. Проволока должна проходить только по рёбрам куба и покрыть каждое хотя бы раз. По одному ребру можно пройти несколько раз; разрезать проволоку нельзя. Какова наименьшая необходимая длина?

Каркас с двенадцатью рёбрами

Проволока должна пройти вдоль всех рёбер. Скрытые рёбра показаны пунктиром.

О задаче · Продвинутый уровень · школьники и взрослые

Тема: Графы
Для кого: Продвинутый уровень · школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Какие рёбра нужно пройти повторно?

Толстые цветные отрезки обозначают три повторяемых ребра. Они не соединяются между собой: каждое исправляет нечётность двух вершин.

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

Во всех восьми вершинах сходятся по три ребра. Непрерывная проволока может иметь лишь два свободных конца, поэтому шесть нечётностей надо исправить.

Все статичные виды и пояснения

Все рёбра по разу

Три повторения

Повторим рёбра $BB\prime$ $CC\prime$ $DD\prime$ как в маршруте выше. В шести вершинах число проходящих концов рёбер станет чётным; $A$ и $A\prime$ останутся концами проволоки. Приведённый маршрут проходит все $12$ рёбер и повторяет ровно эти три, то есть содержит $15$ проходов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При проходе через промежуточную вершину проволока должна и войти, и выйти. Сколько концов рёбер должно сходиться в такой вершине?

Подсказка 2

У куба восемь вершин нечётной степени. Только две могут стать концами проволоки.

Разобрать решение по шагам

Найдите препятствие для $120$ см

Если пройти каждое ребро ровно один раз, в каждой из восьми вершин окажутся три проходящих конца ребра. В промежуточной вершине входы и выходы разбиваются на пары; нечётное число возможно только в начале и конце маршрута. Восемь нечётных вершин при двух концах не подходят.

Докажите нижнюю границу

Нужно изменить чётность хотя бы шести вершин. Каждый дополнительный проход по ребру меняет чётность ровно двух его концов. Значит, необходимо как минимум три дополнительных ребра по $10$ см. Длина не меньше $150$ см.

Постройте маршрут этой длины

Назовём вершины нижней грани $A,B,C,D$ по кругу, а соответствующие верхние $A\prime,B\prime,C\prime,D\prime$ . Подходит следующий непрерывный маршрут; в начале каждой новой строки повторена последняя вершина предыдущей:

\begin{aligned}&A\to B\to B\prime\to C\prime\to C,\\[0.45em]&C\to B\to B\prime\to A\prime\to D\prime,\\[0.45em]&D\prime\to D\to C\to C\prime\to D\prime,\\[0.45em]&D\prime\to D\to A\to A\prime.\end{aligned}

В нём $15$ проходов по рёбрам; каждое ребро куба встречается хотя бы раз. Повторены только $BB\prime$ $CC\prime$ и $DD\prime$ Следовательно, $150$ см достаточно и это минимум.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$150$ см

Главная идея

В задаче о непрерывном маршруте сначала посчитайте вершины с нечётным числом выходов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Нужно пройти все рёбра непрерывным маршрутом с двумя концами. Внутренние посещения идут парами «вход — выход», поэтому сначала считайте вершины нечётной степени.

Возможная ошибка

Получить нижнюю границу $150$ см и не предъявить маршрут, который действительно достигает её.

Источник и примечания

Источник и редакция

А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 77, № 485а,б. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.

Проверь себя

Как изменится минимум, если оба конца проволоки должны встретиться в одной вершине?

Ответ к дополнительной задаче

Минимум станет равен $160$ см. У замкнутого маршрута все вершины должны иметь чётную степень: нужно исправить восемь нечётных вершин, то есть повторить хотя бы четыре ребра. В приведённом в решении маршруте добавьте последний переход $A\prime\to A$ Он замыкает проволоку и даёт ровно $16$ рёбер по $10$ см.

Продолжить тему: Графы →

Тема, знания и приёмы

Графы · Нужна школьная база

Вершины и рёбра куба
Чётность числа линий у вершины

Приёмы решения: Граф и степени вершин · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Какие рёбра нужно пройти повторно?

Все рёбра по разу

Три повторения

Найдите препятствие для 120120120 см

Докажите нижнюю границу

Постройте маршрут этой длины

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача

Найдите препятствие для $120$ см