Popov AcademyУсловие
В восьми вершинах куба записали положительные целые числа. На каждом из двенадцати рёбер записали сумму чисел его концов, а в центре каждой из шести граней — сумму четырёх чисел её вершин. Может ли сумма всех записанных чисел равняться ?
О задаче · Уверенный уровень · школьники и взрослые
Исследуй задачу
Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель
Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.
Вклад одной вершины
Выберем произвольную вершину . Во всех остальных вершинах устроено точно так же.
Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.
Её число входит один раз как собственная запись.
Ещё три раза число входит в суммы на трёх рёбрах, выходящих из вершины .
И ещё три раза — в суммы на трёх гранях, содержащих . Общая кратность .
Все статичные виды и пояснения
Сама вершина
Её число входит один раз как собственная запись.
Три ребра
Ещё три раза число входит в суммы на трёх рёбрах, выходящих из вершины .
Три грани
И ещё три раза — в суммы на трёх гранях, содержащих . Общая кратность .
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Проследите вклад только одной вершины в общую сумму всех записей.
Подсказка 2
Сколько рёбер и сколько граней сходятся в каждой вершине куба?
Разобрать решение по шагам
Считайте вклады, а не записи
Пусть сумма восьми исходных чисел равна . Вместо сложения отдельных записей разберём, сколько раз любое исходное число появляется в этом сложении. У всех вершин куба одинаковое устройство.
Проследите одну вершину
Её число один раз входит как исходная запись. Ещё три раза оно входит в суммы на трёх выходящих из вершины рёбрах и три раза — в суммы трёх прилегающих граней. Итого каждое исходное число учтено ровно семь раз.
Проверьте делимость
Общая сумма равна и обязательно делится на . Между тем
Поэтому получить невозможно при любых положительных целых числах в вершинах.
Ответ
Нельзя
Главная идея
В составной сумме проще сначала найти кратность каждого исходного слагаемого.
Как заметить эту идею в другой задаче
Одни числа порождают записи на вершинах, рёбрах и гранях. Проследите вклад одного исходного числа во всю сумму вместо вычисления каждой записи.
Возможная ошибка
Складывать отдельно вершины, рёбра и грани, теряя из виду, что во всех трёх группах повторяются одни и те же числа.
Источник и примечания
Источник и редакция
А. В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике. 5–7 классы», 2002. С. 83, № 524. Условие пересказано, объяснение и дополнительное упражнение подготовлены для сайта.
Проверь себя
А можно ли получить общую сумму ?
Ответ к дополнительной задаче
Да. Нужно, чтобы сумма чисел в вершинах была . Поставьте в одну вершину , а в остальные семь — по . Все числа положительны, их сумма , а сумма всех записей автоматически равна .
Тема, знания и приёмы
Делимость и простые множители · Нужна школьная база
- Грани и вершины куба
- Делимость суммы целых чисел
Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов