Popov AcademyУсловие
Какой цифрой оканчивается число ?
О задаче · 7–9 классы
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Посмотрите на последние цифры .
Подсказка 2
Цикл имеет длину . Каков остаток при делении на ?
Разобрать решение по шагам
Найдём повторяющиеся состояния
Первые степени: . Последние цифры: . Умножение числа с последней цифрой на возвращает цифру .
Почему повторяется весь цикл
Последняя цифра нового произведения зависит только от прежней последней цифры. Поэтому после возврата к все дальнейшие цифры повторяются тем же порядком.
Найдём место в цикле
После полных циклов нужен второй элемент — . Остаток соответствовал бы четвёртому элементу, то есть .
Ответ
Последняя цифра — .
Главная идея
Если процесс повторяет состояния, ищите длину цикла и остаток от деления номера шага на эту длину.
Как заметить эту идею в другой задаче
Нужно свойство очень большой степени, зависящее лишь от остатка. Изучите малое число возможных состояний и найдите период.
Возможная ошибка
Путать остаток с первым элементом цикла. Показатель, кратный , здесь соответствует последней цифре .
Источник и примечания
Источник и редакция
Учебный разбор Popov Academy · Остатки и периодичность. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.
Проверь себя
Какой цифрой заканчивается ? А ?
Ответ к дополнительной задаче
Для степеней цикл равен . Остаток при делении на равен , поэтому ответ . Показатель кратен , поэтому оканчивается на .
Тема, знания и приёмы
Остатки и последние цифры · Нужна школьная база
- Целые степени
- Деление с остатком
Приёмы решения: Сравнение остатков