Popov AcademyУсловие
Квадрат разделён на девять клеток: три ряда по три клетки. Уже закрашены верхняя левая клетка и верхняя средняя. Закрашенные клетки стирать нельзя. Какое наименьшее число клеток нужно закрасить дополнительно, чтобы узор совпадал со своим отражением и в вертикальном, и в горизонтальном зеркале через центр квадрата?
Оси отражения проходят через центр квадрата.
О задаче · 3–5 классы
Исследуй задачу
Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам
Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.
Замыкаем узор относительно отражений
Два пунктирных зеркала проходят через середину квадрата. Сначала дополните углы, затем середины.
1. Исходные клетки
Закрашены верхняя левая и верхняя средняя клетки. Стирать их нельзя.
2. Все отражения угла
К верхнему левому углу необходимо добавить остальные угловые клетки.
3. Полный симметричный узор
Верхней средней клетке нужна нижняя средняя. Всего добавлены клетки.
Это последовательность обязательных отражений. Центральную клетку добавлять не требуется.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Отражение верхней левой клетки в двух зеркалах требует остальных углов.
Подсказка 2
У верхней средней клетки одно из отражений совпадает с ней самой. Где находится второе?
Разобрать решение по шагам
Дополним углы
Вертикальное зеркало переводит верхний левый угол в верхний правый. Горизонтальное — в нижний левый. А отражение одного из этих новых углов требует нижнего правого. Все четыре угловые клетки должны быть закрашены, значит, добавим три.
Дополним середину края
Верхняя средняя клетка при вертикальном отражении остаётся на своём месте, а при горизонтальном попадает в нижнюю среднюю. Поэтому нужна ещё одна закрашенная клетка.
Проверим достаточность и минимум
Теперь полностью закрашены верхний и нижний ряды, а средний ряд пуст. Оба отражения сохраняют такой узор. Каждая из четырёх добавленных клеток была обязательным отражением уже закрашенной, поэтому меньшим количеством обойтись нельзя. Ответ: четыре.
Ответ
клетки
Главная идея
В симметричном узоре вместе с каждой клеткой должны присутствовать все её требуемые отражения.
Как заметить эту идею в другой задаче
Узор должен выдерживать несколько отражений. Начните с уже закрашенной клетки и добавьте все её образы; потом повторите для следующей исходной клетки.
Возможная ошибка
Проверить только одно зеркало или считать центральную клетку обязательной.
Источник и примечания
Источник и редакция
Авторская учебная задача Popov Academy.
Проверь себя
Сколько клеток нужно добавить к исходному узору, если требуется симметрия только относительно вертикального зеркала?
Ответ к дополнительной задаче
Одну — верхнюю правую. Верхняя левая получает пару, верхняя средняя отражается сама в себя; остальные пустые клетки тоже отражаются в пустые.
Тема, знания и приёмы
Преобразования и разбиения · Начальный вход
- Отражение относительно прямой
- Клетчатая сетка
Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие