Маленькое число с большой суммой — разбор задачи

Условие

Найдите наименьшее положительное целое число, сумма цифр которого равна $23$ Число записывается обычным способом, без нулей перед первой цифрой.

О задаче · 3–5 классы

Тема: Цифры и разряды
Для кого: 3–5 классы
Уровень библиотеки: Начальный · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Может ли сумма цифр однозначного или двузначного числа достичь $23$

Подсказка 2

У трёхзначного числа две последние цифры дают не больше $18$ Что остаётся для первой?

Разобрать решение по шагам

Докажем, что нужны хотя бы три цифры

Самая большая цифра — $9$ Поэтому сумма двух цифр не превосходит $9 + 9 = 18$ Это меньше $23$ так что однозначные и двузначные числа не подходят. Трёхзначное число лучше любого четырёхзначного.

Сделаем первую цифру как можно меньше

Если первая цифра $4$ или меньше, то даже две девятки после неё дадут сумму не больше $4 + 9 + 9 = 22$ Значит, первая цифра должна быть хотя бы $5$

Достигнем этой границы

После первой цифры $5$ остаётся набрать сумму $18$ двумя цифрами. Это возможно только как $9 + 9$ Получается $599$ Его сумма цифр равна $23$ а меньшая первая цифра невозможна, поэтому ответ действительно наименьший.

Сначала число разрядов, потом первая цифра

019 + 9 = 18двух цифр недостаточно

0223 − 18 = 5сотен меньше пяти быть не может

035, 9, 9все условия выполнены

Ответ

$599$

Главная идея

В задачах на самое маленькое число сначала сокращайте количество цифр, затем сравнивайте старшие разряды.

Как заметить эту идею в другой задаче

Требуется наименьшее число при ограничении на сумму цифр. Сначала найдите минимальное число разрядов, затем уменьшайте старшую цифру, проверяя, хватит ли суммы остальных.

Возможная ошибка

Начать число с единицы, но добавить лишние разряды: любое четырёхзначное число больше $599$

Источник и примечания

Источник и редакция

Адаптация задачи 7 вводной части, с. 4, «Этажи, подъезды и не только»: сумма 831 заменена на 23, вопрос изменён на поиск самого числа.

Проверь себя

Какое наименьшее число имеет сумму цифр $24$

Ответ к дополнительной задаче

$699$ Двух цифр всё ещё не хватает. Последние две дают не больше $18$ поэтому первая не меньше $24 - 18 = 6$ Число $699$ достигает этой границы.

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Начальный вход

Сложение, умножение и готовность пробовать. Все новые приёмы объяснены в разборе.

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Докажем, что нужны хотя бы три цифры

Сделаем первую цифру как можно меньше

Достигнем этой границы

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача