Popov AcademyУсловие
Сплошной деревянный куб покрасили снаружи со всех шести сторон. Затем разрезали его ровной сеткой на одинаковых кубиков: по вдоль каждого ребра. Краска внутрь не проникала. У скольких маленьких кубиков окрашена ровно одна грань?
О задаче · 3–5 классы
Исследуй задачу
Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель
Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.
Где у кубика только одна окрашенная грань?
Здесь показана внешняя поверхность куба . Сетка точная: переключайте выделение и поверните модель, чтобы увидеть задние грани.
Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.
На одной грани клеток, но клетки у рёбер касаются и соседних граней. Считать их как отдельные подходящие кубики нельзя.
Уберём крайний ряд на выбранной грани: остаётся квадрат , то есть кубиков. У каждого только одна внешняя грань.
Таких кубиков . Они не пересекаются: ни один выделенный кубик не лежит на ребре большого куба.
Все статичные виды и пояснения
Вся поверхность
На одной грани клеток, но клетки у рёбер касаются и соседних граней. Считать их как отдельные подходящие кубики нельзя.
Середина одной грани
Уберём крайний ряд на выбранной грани: остаётся квадрат , то есть кубиков. У каждого только одна внешняя грань.
Все шесть середин
Таких кубиков . Они не пересекаются: ни один выделенный кубик не лежит на ребре большого куба.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Кубики на углах и на рёбрах получают краску с нескольких сторон.
Подсказка 2
На каждой большой грани оставьте только внутренний квадрат, убрав крайний ряд по всему периметру.
Разобрать решение по шагам
Отделим края от середины
В углу большого куба сходятся три наружные стороны: угловой маленький кубик окрашен с трёх сторон. На ребре, но не в углу, наружных сторон две. Такие кубики нам не подходят.
Посчитаем подходящие на одной грани
Большая грань разделена на квадрат . Если убрать крайний ряд сверху, снизу, слева и справа, в середине останется квадрат . Его девять кубиков касаются наружной поверхности только одной гранью.
Объединим все шесть сторон
У большого куба шесть граней, на каждой по девять подходящих кубиков. Один и тот же кубик здесь не посчитан дважды: у него ровно одна наружная грань. Значит, ответ .
Ответ
кубика
Главная идея
В пространственных задачах сначала разделяйте объекты по их положению: угол, ребро, середина грани, внутренность.
Как заметить эту идею в другой задаче
У маленьких частей тела спрашивают число окрашенных сторон. Разделите их по положению на углах, рёбрах, внутри граней и внутри самого тела.
Возможная ошибка
Умножить на : тогда угловые и рёберные кубики попадут в подсчёт несколько раз.
Источник и примечания
Источник и редакция
По задаче 3, с. 11, «Кубики», занятие № 12: выбран вопрос о ровно одной окрашенной грани.
Проверь себя
Сколько маленьких кубиков в этой же постройке совсем не получили краски?
Ответ к дополнительной задаче
. Уберём с каждой стороны внешний слой толщиной в один кубик. Внутри останется куб ; только его кубики не касались покрашенной поверхности.
Тема, знания и приёмы
Многогранники и объёмы · Начальный вход
- Грани, рёбра и вершины куба
- Умножение и подсчёт по группам
Приёмы решения: Разбор случаев · Последовательный подсчёт без повторов