Числа вокруг треугольника — разбор задачи

Условие

На сторонах треугольника отмечено шесть мест: три вершины и по одному месту посередине каждой стороны. Расставьте числа $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ каждое ровно один раз, так, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждой стороны были одинаковыми и как можно большими. Какова эта наибольшая общая сумма? Приведите расстановку.

Шесть мест для чисел от 1 до 6

Каждое число используется один раз.

О задаче · 3–5 классы

Тема: Расстановка чисел
Для кого: 3–5 классы
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Двойной подсчёт и достигающая его расстановка

Подсвеченные углы входят в сумму всех сторон дважды. Переходите от границы к конкретному примеру.

1. Кратность мест

Три угловых числа будут посчитаны дважды, три числа в серединах — один раз.

2. Максимальные углы

Выбираем в углы $4,5,6$ Общая сумма сторон не больше $21+15=36$ значит, одна сторона — не больше $12$

3. Достигаем границы

Оставшиеся $3,1,2$ дают одинаковые суммы по всем трём сторонам. Верхняя граница $12$ достигнута.

Пустые места в первых состояниях оставлены намеренно: они заполняются лишь на шаге построения.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если сложить суммы всех трёх сторон, числа в углах будут посчитаны дважды, а середины — один раз.

Подсказка 2

Чтобы общая сумма трёх сторон была побольше, самые большие числа стоит поместить в углы.

Разобрать решение по шагам

Разберём двойной подсчёт

Сложим три суммы по сторонам. Каждое число в середине стороны попадёт в результат один раз, а каждое число в вершине — дважды, потому что вершина принадлежит двум сторонам. Поэтому получится сумма всех чисел, $21$ и ещё раз сумма трёх углов.

Докажем верхнюю границу

Самые большие три числа — $4$ $5$ и $6$ их сумма $15$ Значит, сумма всех трёх сторон не может превосходить $21 + 15 = 36$ Если все три суммы равны, каждая не больше $36 \mathbin{:} 3 = 12$

Построим расстановку

Поставим сверху $4$ в левом нижнем углу $5$ в правом нижнем $6$ Между $4$ и $5$ поставим $3$ между $5$ и 6 — 1, между $6$ и 4 — 2. На сторонах получатся $4 + 3 + 5$ $5 + 1 + 6$ и $6 + 2 + 4$ все три равны $12$ Значит, верхняя граница достигается, ответ $12$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$12$

Главная идея

Если элементы участвуют в нескольких суммах, учитывайте, сколько раз каждый из них посчитан.

Как заметить эту идею в другой задаче

Одни числа входят в несколько сумм, другие — в одну. Сложите целевые суммы и проверьте кратность каждого места: это помогает получить границу и подобрать расстановку.

Возможная ошибка

Разделить $21$ на три, как будто углы входят только в одну сторону.

Источник и примечания

Источник и редакция

Авторская учебная задача Popov Academy.

Проверь себя

А какова наименьшая возможная общая сумма при тех же правилах?

Ответ к дополнительной задаче

$9$ Самая маленькая сумма трёх углов — $1 + 2 + 3 = 6$ поэтому три суммы вместе не меньше $21 + 6 = 27$ Каждая не меньше $9$ Граница достигается: углы сверху, слева внизу, справа внизу — $1$ $2$ $3$ между $1$ и $2$ ставим $6$ между $2$ и 3 — 4, между $3$ и 1 — 5. Каждая сторона даёт $9$

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Начальный вход

Сложение, умножение и готовность пробовать. Все новые приёмы объяснены в разборе.

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Двойной подсчёт и достигающая его расстановка

1. Кратность мест

2. Максимальные углы

3. Достигаем границы

Разберём двойной подсчёт

Докажем верхнюю границу

Построим расстановку

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача