Не все кубики войдут в куб — разбор задачи

Условие

Есть $100$ одинаковых маленьких кубиков. Из части кубиков нужно построить как можно больший сплошной куб без пустот: кубики стоят ровными рядами и слоями, одинаковое число в ширину, в глубину и в высоту. Сколько маленьких кубиков останется неиспользованными?

О задаче · 3–5 классы

Тема: Объём и слои
Для кого: 3–5 классы
Уровень библиотеки: Начальный · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Куб растёт сразу в трёх направлениях

Поворачивайте постройку и переключайте целые размеры. Число клеток вдоль каждого ребра в каждом состоянии одинаково.

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

При четырёх кубиках вдоль ребра в одном слое $4\cdot4=16$ кубиков. Показан целый слой толщиной в один кубик.

Все статичные виды и пояснения

Один слой

При четырёх кубиках вдоль ребра в одном слое $4\cdot4=16$ кубиков. Показан целый слой толщиной в один кубик.

Четыре слоя

В сплошном кубе четыре таких слоя: $16\cdot4=64$ кубика. Остаток $100-64=36$

Следующий размер

Для пяти кубиков вдоль ребра требуется $5^3=125$ кубиков. Это уже больше имеющихся $100$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посчитайте кубики сначала в одном квадратном слое, затем во всех слоях.

Подсказка 2

Сравните постройки с четырьмя и с пятью кубиками вдоль каждого края.

Разобрать решение по шагам

Построим куб подходящего размера

Если вдоль каждого края четыре кубика, один слой содержит $4 \times 4 = 16$ кубиков. Таких слоёв тоже четыре, поэтому всего нужно $16 \times 4 = 64$ Сто кубиков для этой постройки достаточно.

Проверим следующий размер

При пяти кубиках вдоль края в слое уже $5 \times 5 = 25$ кубиков, а слоёв пять. Нужно $25 \times 5 = 125$ но у нас только $100$ Все ещё большие кубы потребуют ещё больше материала.

Найдём остаток

Наибольший допустимый куб использует $64$ маленьких кубика. Неиспользованными останутся $100 - 64 = 36$ Нельзя просто пристроить их сбоку: тогда фигура перестанет быть кубом.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$36$ кубиков

Главная идея

Пространственную постройку удобно считать по слоям, а максимум проверять сравнением с ближайшим большим размером.

Как заметить эту идею в другой задаче

Куб должен быть сплошным, а по всем трём направлениям число элементов одинаково. Считайте квадратный слой и число таких слоёв; для максимума проверьте соседний больший размер.

Возможная ошибка

Посчитать только квадратный слой и забыть о высоте.

Источник и примечания

Источник и редакция

По задаче 1 раздела «Условия задач с решениями», с. 11, «Кубики», занятие № 12. Сплошная укладка рядами уточнена.

Проверь себя

Сколько кубиков останется, если их было $130$

Ответ к дополнительной задаче

Пять. Куб $5 \times 5 \times 5$ использует $125$ кубиков, а следующий $6 \times 6 \times 6$ требует $216$ Поэтому останется $130 - 125 = 5$

Продолжить тему: Многогранники и объёмы →

Тема, знания и приёмы

Многогранники и объёмы · Начальный вход

Грани и слои куба
Умножение трёх чисел

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Куб растёт сразу в трёх направлениях

Один слой

Четыре слоя

Следующий размер

Построим куб подходящего размера

Проверим следующий размер

Найдём остаток

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача