Popov AcademyУсловие
У каркаса куба рёбер. Можно ли раскрасить каждое ребро целиком одним из трёх цветов так, чтобы в каждом углу сходились три ребра разных цветов? Если можно, опишите правило раскраски, которое работает для всех восьми углов.
Скрытые рёбра обозначены пунктиром.
О задаче · 3–5 классы
Исследуй задачу
Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель
Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.
Один цвет на направление
Три направления рёбер взаимно перпендикулярны. В каждом углу встречается по одному ребру каждого направления.
Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.
У куба рёбер. Сначала осмотрите их расположение.
Горизонтальные рёбра — синие; вертикальные — красные; рёбра в глубину — зелёные. В любом углу сходятся все три направления.
Все статичные виды и пояснения
Каркас
У куба рёбер. Сначала осмотрите их расположение.
Три направления
Горизонтальные рёбра — синие; вертикальные — красные; рёбра в глубину — зелёные. В любом углу сходятся все три направления.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
В каждом углу куба одно ребро идёт вверх или вниз, одно — вправо или влево, одно — в глубину.
Подсказка 2
Попробуйте давать одинаковый цвет всем рёбрам одного направления.
Разобрать решение по шагам
Разделим рёбра на три группы
Поставим куб на стол. У него четыре вертикальных ребра, четыре ребра идут слева направо, ещё четыре — от передней стороны к задней. Каждое ребро попадает ровно в одну группу.
Дадим каждой группе свой цвет
Все вертикальные рёбра сделаем красными, все направленные слева направо — синими, а все направленные в глубину — зелёными. Так мы назначили цвет всем рёбрам.
Проверим любой угол
В каждом углу сходятся по одному ребру из каждой группы направлений. Поэтому там окажутся красное, синее и зелёное рёбра, без повторения. Проверка относится сразу ко всем углам: нужная раскраска существует.
Ответ
Да: один цвет на каждое из трёх направлений рёбер
Главная идея
Единое правило часто надёжнее, чем подбирать цвет отдельно для каждой детали.
Как заметить эту идею в другой задаче
Одинаковое местное условие нужно выполнить во всех вершинах. Ищите общее правило для направлений рёбер, которое автоматически проверяет каждую вершину.
Возможная ошибка
Удачно раскрасить один угол, не проверив остальные.
Источник и примечания
Источник и редакция
По задаче 11: условие с. 10, решение с. 15, «Кубики», занятие № 12.
Проверь себя
Можно ли выполнить то же требование, имея только два цвета?
Ответ к дополнительной задаче
Нет. Даже в одном углу сходятся три ребра. Два цвета не могут дать трём рёбрам три разных цвета: хотя бы два совпадут.
Тема, знания и приёмы
Многогранники и объёмы · Начальный вход
- Грани, рёбра и вершины куба
- Соседство рёбер
Приёмы решения: Раскраска