Дороги к библиотеке — разбор задачи

Условие

Улицы образуют прямоугольную сетку из трёх кварталов в ширину и двух в высоту. Дом стоит в нижнем левом углу, библиотека — в верхнем правом. Разрешено идти по улицам только вправо и вверх. Поэтому любой маршрут содержит три шага вправо и два вверх. Сколько разных маршрутов ведёт от дома к библиотеке? Маршруты различаются, если хотя бы один участок улицы у них разный.

Только вправо и вверх

Д — дом. Б — библиотека. Между ними три квартала по горизонтали и два по вертикали.

О задаче · 3–5 классы

Тема: Подсчёт путей
Для кого: 3–5 классы
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Считаем маршруты по рядам

В каждом перекрёстке записано число способов прийти к нему. Пустые точки ещё не посчитаны.

1. Границы

Вдоль нижней и левой границ путь единственный.

2. Средний ряд

Для каждой новой точки складываем число слева и снизу: получаются $2,3,4$

3. Верхний ряд

Последовательно получаем $3$ затем $6$ затем $10$ у библиотеки. Каждый маршрут учтён по своему последнему шагу.

Правило работает потому, что движение разрешено только вверх и вправо: возвращений к уже пройденным точкам нет.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

По нижней границе к любому перекрёстку можно попасть только одним способом. По левой — тоже.

Подсказка 2

В любой другой перекрёсток последний шаг приходит либо слева, либо снизу. Сложите эти два числа способов.

Разобрать решение по шагам

Начнём с границ

До каждого перекрёстка нижнего края есть один путь: всё время вправо. До каждого перекрёстка левого края тоже один: всё время вверх. Подпишем на этих границах единицы. У дома считаем один пустой путь — мы уже там.

Найдём правило для остальных точек

В перекрёсток можно войти последним шагом только слева или снизу. Эти случаи не совпадают, потому что последний участок разный. Поэтому нужно сложить число путей к левому соседу и число путей к нижнему соседу. Так мы учитываем все допустимые маршруты и ни один не считаем дважды.

Дойдём до библиотеки

В среднем ряду слева направо получаются $1$ $2$ $3$ $4$ В верхнем — $1$ затем $1 + 2 = 3$ затем $3 + 3 = 6$ и наконец $6 + 4 = 10$ Последняя точка — библиотека, значит, маршрутов десять.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$10$ маршрутов

Главная идея

Большой подсчёт можно заменить маленьким правилом, применяемым по порядку.

Как заметить эту идею в другой задаче

К точке можно прийти только из нескольких предыдущих точек. Разбейте маршруты по последнему шагу и складывайте уже найденные количества.

Возможная ошибка

Посчитать только пути с одним поворотом: некоторые маршруты несколько раз чередуют движение вправо и вверх.

Источник и примечания

Источник и редакция

Авторская учебная задача Popov Academy.

Проверь себя

Сколько маршрутов получится для сетки два квартала в ширину и два в высоту при тех же правилах?

Ответ к дополнительной задаче

Шесть. Нижний ряд перекрёстков: $1$ $1$ $1$ средний: $1$ $2$ $3$ верхний: $1$ $3$ $6$ В правый верхний угол приходят $3$ пути слева и $3$ снизу.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Начальный вход

Сложение, умножение и готовность пробовать. Все новые приёмы объяснены в разборе.

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Считаем маршруты по рядам

1. Границы

2. Средний ряд

3. Верхний ряд

Начнём с границ

Найдём правило для остальных точек

Дойдём до библиотеки

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача