Popov AcademyУсловие
Каждый участник шахматного турнира сыграл с каждым другим один раз. В любой тройке участников среди трёх их партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна партия с победителем. Какое наибольшее число участников возможно?
О задаче · 5–6 классы
Исследуй задачу
Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам
Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.
Конструкция на пяти игроках
Выбирайте шаг: новые обозначения появляются вместе с объяснением.
1. Партии с победителем
Пусть все соседние игроки по кругу сыграли с победителем. Пятиугольник не содержит треугольника.
2. Добавим ничьи
Оставшиеся пять партий — ничьи, они обозначены пунктиром. Среди трёх пронумерованных игроков нельзя выбрать треугольник только из пунктирных линий. Пересечения диагоналей не обозначают игроков. Поэтому в каждой тройке встречаются оба типа партий.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Соедините игроков линиями двух видов: ничья и победа.
Подсказка 2
У одного из шести игроков пять соперников. Среди пяти связей найдутся три одинакового вида.
Разобрать решение по шагам
Покажите невозможность шести
Предположим, что игроков шесть. Выберем одного: у него пять соперников, а партии бывают двух типов — ничья и партия с победителем. Если бы партий каждого типа было не больше двух, всего было бы не больше четырёх. Поэтому хотя бы три партии выбранного игрока одного типа. Если двое из этих трёх соперников сыграли между собой партию того же типа, вместе с выбранным игроком они образуют тройку, в которой все три партии одного типа. Это запрещено условием.
Рассмотрите вторую возможность
Если таких партий у троих нет, все три партии между ними противоположного типа. Снова получается запрещённая тройка: все её партии одного типа. Поэтому шесть игроков невозможны. Больше шести тоже невозможно: из них можно выбрать шестерых, для которых правило о каждой тройке сохранится.
Постройте пример для пяти
Обозначим пятерых игроков точками по кругу, а их партии — соединяющими линиями. Партии соседей пусть имеют победителя, остальные будут ничьими. Треугольник из трёх игроков не может состоять только из сторон пятиугольника или только из его диагоналей. Пересечения диагоналей внутри рисунка не обозначают игроков. Значит, в любой тройке есть оба типа партий. Ответ .
Ответ
игроков.
Главная идея
Задача о максимуме требует и конструкции, и доказательства, что больше не получится.
Как заметить эту идею в другой задаче
Правило касается каждой тройки объектов и двух типов связей. Изобразите связи рёбрами двух видов: запрещённые тройки станут одноцветными треугольниками.
Возможная ошибка
Остановиться на красивом пятиугольнике: он не исключает пример на шести вершинах.
Источник и примечания
Источник и редакция
По материалам «Покори Воробьёвы горы!», финал 2023/24, 5–6 классы, № 5; решения: math56_stage2_keys.pdf, с. 2–3. Условие пересказано; разбор и дополнительное упражнение — Popov Academy.
Проверь себя
А если в каждой тройке должна быть ровно одна ничья?
Ответ к дополнительной задаче
Максимум . Пример: две непересекающиеся ничейные пары, остальные партии результативны. У игрока не может быть двух ничьих, иначе найдётся тройка с двумя. Поэтому ничьи — непересекающиеся пары; среди пяти игроков можно выбрать троих из разных пар или одиночек, и у них ничьих не будет.
Тема, знания и приёмы
Графы · Нужна школьная база
- Правило партий в турнире
- Сравнение количества пар
Приёмы решения: Граф и степени вершин · Оценка и достижимость