Самое большое число с памятью о двух цифрах

Условие

Найдите наибольшее шестизначное число, в котором каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих. Все суммы должны быть цифрами, без переносов.

О задаче · Школьники и взрослые

Тема: Алгоритмы
Для кого: Школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте первые две цифры $a$ и $b$ Выразите через них остальные.

Подсказка 2

Последняя цифра — $3a+5b$ она не больше $9$

Разобрать решение по шагам

Выпишите зависимости

Последовательность цифр:

\begin{aligned}&a,\ b,\ a+b,\\[0.45em]&a+2b,\ 2a+3b,\ 3a+5b.\end{aligned}

Здесь $a\ge1$ и $b\ge0$

Максимизируйте слева

Из $3a+5b\le9$ следует $a\le3$ Чтобы число было наибольшим, пробуем $a=3$ Тогда $b$ может быть только $0$

Проверьте все цифры

Получаем $3$ $0$ $3$ $3$ $6$ $9$ то есть $303369$ Все цифры допустимы. Ни одно число с меньшей первой цифрой его не превзойдёт.

Всё число определяется началом

01a, bпервые цифры

02a+b, a+2bтретья и четвёртая

032a+3b, 3a+5bпятая и шестая

Ответ

$303369$

Главная идея

Для сравнения чисел сначала важны старшие разряды; ограничения на конец могут ограничить начало.

Как заметить эту идею в другой задаче

Каждая следующая цифра выражается через предыдущие. Выразите все цифры через первые две; ограничение последней цифры сильно сужает выбор.

Возможная ошибка

Начать с $9$ а затем обнаружить двузначные «цифры».

Источник и примечания

Источник и редакция

Задача из присланной подборки Сергея Попова.

Проверь себя

Какое наибольшее пятизначное число удовлетворяет тому же правилу?

Ответ к дополнительной задаче

$40448$ Пятая цифра $2a+3b\le9$ поэтому $a\le4$ При $a=4$ возможно только $b=0$ Полученная последовательность цифр $4,0,4,4,8$ подходит.

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Нужна школьная база

Разряды десятичной записи
Сложение соседних чисел

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →

Условие

Выпишите зависимости

Максимизируйте слева

Проверьте все цифры

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача