Почему n³ − n всегда делится на 6 — разбор задачи

Условие

Докажите, что число $n^3-n$ делится на $6$ при любом целом $n$

О задаче · 7–9 классы

Тема: Делимость
Для кого: 7–9 классы
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Вынесите общий множитель, затем примените разность квадратов.

Подсказка 2

Получатся три последовательных целых числа. Почему среди них есть чётное и кратное $3$

Разобрать решение по шагам

Превратим разность в произведение

Нужно обнаружить множители $2$ и $3$ Разложение даёт:

n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1).

Теперь видны три последовательных целых числа.

Найдём нужные множители

Среди трёх последовательных чисел хотя бы одно чётное. Остатки при делении на $3$ проходят все три возможности, поэтому одно из чисел делится на $3$

Почему этого достаточно

Числа $2$ и $3$ взаимно просты. Произведение, делящееся на оба, делится на $6$ Рассуждение работает для отрицательных целых; если множитель равен нулю, результат $0$ также делится на $6$

Ответ

Да, при любом целом $n$

Главная идея

Преобразование выражения может показать структуру задачи. Здесь степень скрывала три последовательных числа.

Как заметить эту идею в другой задаче

Требуется делимость разности степеней. Разложите её на множители и ищите последовательные числа: их остатки легче контролировать.

Возможная ошибка

Считать несколько удачных примеров доказательством. Примеры помогают заметить закономерность, но общий вывод требует общего рассуждения.

Источник и примечания

Источник и редакция

Учебный разбор Popov Academy · Делимость и разложение на множители. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.

Проверь себя

Всегда ли произведение четырёх последовательных целых чисел делится на $24$

Ответ к дополнительной задаче

Да. Среди четырёх последовательных чисел есть кратное $3$ и кратное $4$ Есть и второе чётное число, отличное от выбранного кратного $4$ — оно даёт ещё множитель $2$ Поэтому произведение делится на $3 \times 4 \times 2 = 24$ . Если один из множителей равен нулю, утверждение также верно.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Разность квадратов и делимость целых чисел.

Приёмы решения: Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →

Условие

Превратим разность в произведение

Найдём нужные множители

Почему этого достаточно

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача