Шахматная доска без двух углов: как помогает раскраска

Условие

Из шахматной доски $8 \times 8$ удалили две угловые клетки, лежащие на концах одной диагонали. Можно ли покрыть оставшиеся $62$ клетки прямоугольниками домино $1 \times 2$ без наложений и пробелов?

Попробовать уложить домино →

О задаче · 5–8 классы

Тема: Раскраски
Для кого: 5–8 классы
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Одна костяшка закрывает клетки двух разных цветов. Сколько клеток каждого цвета осталось?

Подсказка 2

Две удалённые противоположные угловые клетки имеют одинаковый цвет.

Разобрать решение по шагам

Посчитаем цвета

Изначально было по $32$ клетки каждого цвета. У противоположных углов цвет одинаков: после удаления остаются $30$ клеток одного цвета и $32$ другого.

Что сохраняет одна костяшка

Соседние по стороне клетки всегда разных цветов. Каждая костяшка занимает ровно одну белую и одну чёрную клетку; сколько бы костяшек мы ни уложили, закрытых клеток обоих цветов будет поровну.

Сопоставим с остатком доски

Для полного покрытия требовалось бы равенство чисел клеток. Полученные $30$ и $32$ не равны, поэтому покрытие невозможно.

Ответ

Нельзя покрыть доску без пропусков и наложений.

Главная идея

Площадь совпадает, но этого недостаточно. Раскраска позволяет заметить ограничение, которое не видно при подсчёте общего числа клеток.

Как заметить эту идею в другой задаче

Нужно покрыть клетчатую фигуру одинаковыми деталями. Раскраска полезна, если каждая деталь покрывает фиксированное число клеток каждого цвета.

Возможная ошибка

Пытаться перебрать все расположения домино. Полезнее сначала найти свойство, одинаковое для каждой фигуры.

Источник и примечания

Источник и редакция

Учебный разбор Popov Academy · Раскраски и инварианты. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.

Проверь себя

А если убрать две угловые клетки на одной стороне доски — например, верхнюю левую и верхнюю правую? Можно ли покрыть оставшееся поле?

Ответ к дополнительной задаче

Да. В верхнем ряду останутся шесть подряд идущих клеток: закроем их тремя горизонтальными домино. Каждый из остальных семи рядов из восьми клеток закроем четырьмя горизонтальными домино. Всего $3 + 7 \times 4 = 31$

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Уметь считать клетки и различать соседство по стороне.

Приёмы решения: Раскраска · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →

Условие

Посчитаем цвета

Что сохраняет одна костяшка

Сопоставим с остатком доски

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача