Шахматная доска и зерно: удвоение обгоняет ожидания

Условие

На первую клетку доски положили $1$ зерно, на вторую $2$ на третью $4$ и далее каждый раз удваивали. Сколько зёрен на всех $64$ клетках?

О задаче · Школьники и взрослые

Тема: Рост и масштаб
Для кого: Школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посчитайте суммы для первых $1$ $2$ $3$ $4$ клеток.

Подсказка 2

Удвойте всю сумму и вычтите исходную. Почти все слагаемые сократятся.

Разобрать решение по шагам

Обозначьте сумму

$S=1+2+4+\cdots+2^{63}$ На $64$ -й клетке степень $63$ потому что на первой степень $0$

Сдвиньте ряд

$2S=2+4+\cdots+2^{64}$ Вычтем $S$ все промежуточные члены сокращаются, $S=2^{64}-1$

Оцените масштаб

Ответ $18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ зёрен. На последней клетке на одно зерно больше, чем на всех $63$ предыдущих вместе.

Каждая сумма на единицу меньше следующей степени двойки

011 + 2 + 47 = 8 − 1

02+8 +1631 = 32 − 1

0364 клетки2⁶⁴ − 1

Ответ

$2^{64}-1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ зёрен.

Главная идея

При удвоении последние шаги определяют масштаб всего процесса.

Как заметить эту идею в другой задаче

Каждый следующий вклад вдвое больше предыдущего. Сравните сумму с её удвоением: почти все слагаемые сократятся.

Возможная ошибка

Перепутать число на последней клетке с общей суммой. На клетке с номером $64$ находится $2^{63}$ зёрен, а не $2^{64}$

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка, рисунки и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Сколько зёрен на первых $10$ клетках?

Ответ к дополнительной задаче

$2^{10}-1=1023$

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Степени двойки
Геометрическая прогрессия

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →

Условие

Обозначьте сумму

Сдвиньте ряд

Оцените масштаб

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача