Библиотека задач / Комбинаторика

Школьники и взрослые

Два короля: считать можно с запрещённых мест

Условие

На пустой доске 8×88\times 8 нужно поставить белого и чёрного королей так, чтобы они не стояли на одной клетке и не атаковали друг друга. Короли атакуют соседние по стороне и диагонали клетки. Сколько расстановок? Цвета различаем.

О задаче · Школьники и взрослые
Тема
Комбинаторика
Для кого
Школьники и взрослые
Уровень библиотеки
Продвинутый · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Какие клетки запрещает один король?

Выбирайте шаг: новые обозначения появляются вместе с объяснением.

1. Угол

Из этой клетки король атакует 33 соседних. Саму занятую клетку мы уже исключили в множителе 6363.

К этому шагу
К3 запрещённых соседних клеток

2. Край

Из этой клетки король атакует 55 соседних. Саму занятую клетку мы уже исключили в множителе 6363.

К этому шагу
К5 запрещённых соседних клеток

3. Внутренняя клетка

Из этой клетки король атакует 88 соседних. Саму занятую клетку мы уже исключили в множителе 6363.

К этому шагу
К8 запрещённых соседних клеток
Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала посчитайте все разные пары клеток, затем вычтите соседние.

Подсказка 2

Угловая клетка имеет 33 соседа, краевая неугловая 55, внутренняя 88.

Разобрать решение по шагам
01

Все расстановки

Для белого 6464 клетки, для чёрного после этого 6363. Получается 64⋅63=403264\cdot63=4032.

02

Сосчитайте атаки

У доски 44 угловые клетки. На каждой стороне между углами по 8−2=68-2=6 клеток: краевых неугловых клеток 4⋅6=244\cdot6=24. Внутри остаётся квадрат 6×66\times6, то есть 3636 клеток. Из угловой клетки король атакует 33 соседние, из краевой неугловой — 55, из внутренней — 88. Поэтому запретных упорядоченных пар 4⋅3+24⋅5+36⋅8=4204\cdot3+24\cdot5+36\cdot8=420.

Открыть модель к этому разбору ↑

03

Вычтите

4032−420=36124032-420=3612. Делить на два не надо: перестановка цветов даёт другую расстановку.

Ответ

36123612 расстановок.

Главная идея

Когда разрешённых вариантов много, удобнее считать запрещённые.

Как заметить эту идею в другой задаче

Допустимые пары многочисленны, а запрещённые определяются соседством. Посчитайте все упорядоченные пары и вычтите близкие.

Возможная ошибка

Считать все клетки одинаковыми или делить ответ на 22, теряя различие цветов.

Источник и примечания

Источник и редакция

Задача из присланной подборки Сергея Попова.

Проверь себя

Сколько таких расстановок на доске 3×33\times 3?

Ответ к дополнительной задаче

9⋅8−(4⋅3+4⋅5+1⋅8)=72−40=329\cdot8-(4\cdot3+4\cdot5+1\cdot8)=72-40=32.

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →
Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

  • Ход шахматного короля
  • Правило произведения при подсчёте

Приёмы решения: Подсчёт дополнения

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема

Popov Academy · Библиотека задач

Два короля: считать можно с запрещённых мест

https://popov.academy/library/chess-kings/

Условие

На пустой доске 8×88\times 8 нужно поставить белого и чёрного королей так, чтобы они не стояли на одной клетке и не атаковали друг друга. Короли атакуют соседние по стороне и диагонали клетки. Сколько расстановок? Цвета различаем.

Дополнительная задача

Сколько таких расстановок на доске 3×33\times 3?