Честный выбор с нечестной монетой — разбор задачи

Условие

Монета даёт орла с неизвестной постоянной вероятностью $p$ где $0<p<1$ Броски независимы. Как получить два исхода с равными шансами, повторяя броски?

О задаче · Школьники и взрослые

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравните вероятности последовательностей ОР и РО.

Подсказка 2

Что делать с ОО и РР, чтобы не портить симметрию?

Разобрать решение по шагам

ОР означает А, РО — Б. Одинаковые результаты в паре не засчитываем, после них начинаем новую независимую пару.

Вероятности ОР и РО равны $p(1-p)$ Поэтому среди принятых пар оба ответа равновероятны, хотя $p$ нам неизвестна.

При $0<p<1$ алгоритм заканчивается с вероятностью $1$ но фиксированного верхнего числа бросков нет. Вероятность принятия пары равна $2p(1-p)$

Ответ

Принимать только пары ОР и РО: первая даёт А, вторая — Б. Одинаковые исходы отбрасывать.

Главная идея

Симметрия позволяет убрать неизвестный параметр из ответа.

Как заметить эту идею в другой задаче

Вероятность одного исхода неизвестна. Ищите два составных события с одинаковым произведением вероятностей независимо от параметра.

Возможная ошибка

Брать два любых разных броска, пропуская промежуточные по собственному правилу: так легко сломать равновероятность.

Источник и примечания

Классическая задача. Формулировка, рисунки и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Если $p=\frac{1}{2}$ какова вероятность принять одну пару?

Ответ к дополнительной задаче

$\frac{1}{2}$ из четырёх равновероятных пар подходят ОР и РО.

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Нужна школьная база

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие