Библиотека задач / Движение

7–11 классы и взрослые

Почему средняя скорость не всегда равна полусумме

Условие

Автомобиль проехал 120120 км со скоростью 6060 км/ч, а обратно по той же дороге — со скоростью 4040 км/ч. Остановок не было. Какова средняя скорость за всю поездку?

О задаче · 7–11 классы
Тема
Движение
Для кого
7–11 классы и взрослые
Уровень библиотеки
Начальный · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Накопленный путь и время

Выбирайте шаг: новые обозначения появляются вместе с объяснением.

1. Два часа туда

За первые 22 часа накопленный путь вырос от 00 до 120120 км. Наклон графика равен скорости 6060 км/ч.

К этому шагу
t, чs, км012345120240

2. Три часа обратно

Обратный путь тоже прибавляется к общему пути. За следующие 33 часа добавились 120120 км. Поэтому график пути растёт и на обратной дороге.

К этому шагу
t, чs, км012345120240

3. Средняя скорость

Пунктир соединяет начало и конец поездки. Его наклон 2405=48\frac{240}{5}=48 км/ч — средняя скорость за всю поездку.

К этому шагу
t, чs, км012345120240
Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Найдите отдельно время каждого участка.

Подсказка 2

Полный путь делится на полное время; времена здесь не равны.

Разобрать решение по шагам
01

Найдём оба времени

t1=12060=2 ч,t2=12040=3 ч.t_1=\frac{120}{60}=2\text{ ч},\qquad t_2=\frac{120}{40}=3\text{ ч}.

Более медленный участок занимает больше времени, поэтому скорости имеют разный вес.

02

Применим определение

За 2+3=52+3=5 часов автомобиль проехал 120+120=240120+120=240 км.

vср=2405=48 км/ч.v_{\text{ср}}=\frac{240}{5}=48\text{ км/ч}.
03

Обобщим для равных путей

Если каждый путь равен ss, а скорости v1,v2>0v_1,v_2>0, то

vср=2ssv1+sv2=2v1v2v1+v2.v_{\text{ср}}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.

Формула получена из времени, а не из среднего арифметического скоростей.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

48 км/ч48\text{ км/ч}.

Главная идея

Сначала вернитесь к определению величины. Средняя скорость — отношение всего пути ко всему времени, включая остановки, если они есть.

Как заметить эту идею в другой задаче

Нужна средняя скорость на нескольких участках. Сначала определите, равны ли времена или расстояния, и вернитесь к отношению всего пути ко всему времени.

Возможная ошибка

Взять 60+402=50\frac{60+40}{2}=50. Медленный участок занял больше времени, поэтому две скорости нельзя учитывать с одинаковым весом.

Источник и примечания

Источник и редакция

Учебный разбор Popov Academy · Движение и средние величины. Не вариант конкретной олимпиады или экзамена.

Проверь себя

Автомобиль ехал один час со скоростью 6060 км/ч и один час со скоростью 4040 км/ч. Какова средняя скорость теперь?

Ответ к дополнительной задаче

За два часа пройдено 60+40=10060+40=100 км. Средняя скорость 1002=50\frac{100}{2}=50 км/ч. В этом упражнении времена равны, поэтому полусумма подходит.

Продолжить тему: Задачи на движение →
Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

  • Формулы пути, скорости и времени.

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема

Popov Academy · Библиотека задач

Почему средняя скорость не всегда равна полусумме

https://popov.academy/library/average-speed/

Условие

Автомобиль проехал 120120 км со скоростью 6060 км/ч, а обратно по той же дороге — со скоростью 4040 км/ч. Остановок не было. Какова средняя скорость за всю поездку?

Дополнительная задача

Автомобиль ехал один час со скоростью 6060 км/ч и один час со скоростью 4040 км/ч. Какова средняя скорость теперь?