Муравьи сталкиваются — а считать их не нужно

Условие

На палочке длиной $1$ метр сидят муравьи. Все ползут со скоростью $1$ см/с, при встрече мгновенно разворачиваются, на концах падают. Какое время достаточно, чтобы палочка наверняка опустела, независимо от начальных мест и направлений? Муравьёв считаем точками.

О задаче · Школьники и взрослые

Тема: Движение
Для кого: Школьники и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Что изменится для картины движения, если два встретившихся муравья пройдут друг сквозь друга?

Подсказка 2

Имена муравьёв не важны: нам нужно только время опустения.

Разобрать решение по шагам

Забудьте индивидуальные имена

Два одинаковых по скорости муравья после столкновения расходятся ровно так же, как если бы прошли насквозь и поменялись именами.

Уберите столкновения

В новой картине каждый идёт прямо до края. Его путь не длиннее всей палочки, $100$ см.

Оцените время

Не позднее чем через $100$ секунд все упадут. Даже один муравей у одного края, направленный к другому, может идти почти $100$ секунд, поэтому меньшая универсальная граница не подходит.

Две картины движения неразличимы без имён

01→ ←движутся навстречу

02← →при встрече разворачиваются

03100 ÷ 1не больше 100 секунд

Ответ

$100$ секунд достаточно; меньшая общая граница не годится.

Главная идея

Если личности объектов не важны, можно переобозначить их и упростить динамику.

Как заметить эту идею в другой задаче

Одинаковые частицы при столкновении лишь обмениваются скоростями. Для времени освобождения пространства можно забыть их имена.

Возможная ошибка

Добавлять время за каждый разворот. Скорости равны, и столкновения можно заменить обменом имён.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка, рисунки и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Та же модель: палочка $80$ см, скорость $2$ см/с. Какая универсальная граница времени?

Ответ к дополнительной задаче

$40$ секунд: $\frac{80\text{ см}}{2\text{ см/с}}=40\text{ с}$ . Заменяем столкновения проходом насквозь, как в основной задаче. Каждый муравей проходит не больше длины палочки. Один муравей почти у края, ползущий к противоположному, может идти почти $40$ секунд, поэтому меньшая универсальная граница не подходит.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Связь пути, скорости и времени
Одинаковые скорости и обмен направлениями

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →

Условие

Забудьте индивидуальные имена

Уберите столкновения

Оцените время

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача