Лучше в каждой группе — хуже в общем итоге?

Условие

Алгоритмы $A$ и $B$ обрабатывали простые и сложные заявки. На простых $A$ успешно обработал $9$ из $10$ а $B$ — $80$ из $100$ На сложных $A$ успешно обработал $20$ из $100$ а $B$ — $1$ из $10$ У какого алгоритма выше доля успеха в каждом типе заявок? А если объединить типы? Объясните, почему ответы могут различаться. Это учебные данные, а не результат реального исследования.

О задаче · Подростки и взрослые

Тема: Статистика
Для кого: Подростки и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Для общего процента сначала сложите количества успешных заявок и общее количество заявок.

Подсказка 2

У какого алгоритма среди всех заявок больше простых?

Разобрать решение по шагам

Сравните внутри групп

Среди простых заявок $A$ успешен в $90\,\%$ случаев, $B$ — в $80\,\%$ Среди сложных у $A$ $20\,\%$ у $B$ $10\,\%$ В каждой из двух групп наблюдаемый процент $A$ выше на $10$ процентных пунктов.

Посчитайте общий результат

У $A$ всего $29$ успехов из $110$ заявок, примерно $26{,}36\,\%$ У $B$ $81$ успех из $110$ примерно $73{,}64\,\%$ В общем итоге $B$ оказывается впереди. Складывать проценты $90$ и $20$ с одинаковыми весами здесь нельзя: соответствующие группы $A$ имеют размеры $10$ и $100$

Объясните изменение порядка

У $B$ большая часть работы приходится на простые заявки, у $A$ — на сложные. Общий процент отражает и результат внутри типа, и состав полученной работы. Такой разворот сравнения называют парадоксом Симпсона. Эти числа сами по себе не доказывают причинного превосходства алгоритма: для сравнения важно учитывать условия получения данных.

Одинаковые типы — разные пропорции

01ПростыеA: 9/10; B: 80/100

02СложныеA: 20/100; B: 1/10

03ВсегоA: 29/110; B: 81/110

Ответ

В каждой группе доля успеха выше у $A$ но в общей выборке выше у $B$

\frac{29}{110}\approx26{,}36\,\%,\qquad \frac{81}{110}\approx73{,}64\,\%.

Причина — разные доли лёгких и трудных случаев.

Главная идея

Общий процент зависит от размеров групп. Сопоставляйте не только результаты, но и состав выборок.

Как заметить эту идею в другой задаче

Результат лучше в каждой подгруппе, но хуже в общей выборке. Проверьте размеры групп: общее отношение — взвешенное среднее, а веса могут различаться.

Возможная ошибка

Считать общий процент средним арифметическим двух процентов или заключать, что лучший общий показатель автоматически означает лучший результат при одинаковых условиях.

Источник и примечания

Источник и редакция

Авторская учебная задача на классическую идею. Формулировка и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Пусть оба алгоритма получили по $100$ простых и $100$ сложных заявок, а указанные доли успеха внутри типов точно сохранились. Каков общий процент каждого?

Ответ к дополнительной задаче

У $A$ $90+20=110$ успехов из $200$ то есть $55\,\%$ У $B$ $80+10=90$ из $200$ то есть $45\,\%$ При одинаковом составе заявок разворот исчезает.

Продолжить тему: Доли, отношения и проценты →

Тема, знания и приёмы

Доли, отношения и проценты · Нужна школьная база

Доли и проценты
Сложение численностей групп

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →

Условие

Сравните внутри групп

Посчитайте общий результат

Объясните изменение порядка

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача