Перемешанные конверты: сколько найдёт адресата?

Условие

Для $12$ участников подготовили $12$ подписанных конвертов, каждому ровно один. Их случайно перемешали и раздали по одному участникам; все $12!$ перестановок равновероятны. Сколько участников в среднем получат именно свой конверт? Требуется среднее число по многим повторениям опыта, а не гарантия и не вероятность хотя бы одного совпадения.

О задаче · Подростки и взрослые

Тема: Математическое ожидание
Для кого: Подростки и взрослые
Уровень библиотеки: Следующий шаг · ориентир

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Выберите одного участника. Какова вероятность, что ему достанется свой конверт?

Подсказка 2

Общее число совпадений — сумма двенадцати величин, каждая из которых равна нулю или единице.

Разобрать решение по шагам

Посчитайте одного человека

Зафиксируем участника. Любой из $12$ конвертов с равными шансами оказывается у него, поэтому вероятность своего — $\frac1{12}$ Вклад этого участника в число совпадений равен $1$ если он получил своё, и $0$ иначе. Средний вклад равен

1\cdot\frac1{12}+0\cdot\frac{11}{12}=\frac1{12}.

Сложите средние вклады

В каждой раздаче общее число совпадений равно сумме двенадцати индивидуальных вкладов. Представьте таблицу всех раздач, где каждый столбец отвечает за одного участника. Сумма всех совпадений одинакова, считаем ли мы её по строкам или по столбцам. Поэтому и среднее общее число равно сумме средних по столбцам: $12\times \frac{1}{12}=1$ Для этого свойства среднего независимость вкладов не нужна.

Разделите среднее и отдельный исход

Ответ $1$ не означает, что в каждой раздаче совпадёт ровно один конверт. Возможны ноль совпадений, несколько и даже все двенадцать. Например, циклический сдвиг всех конвертов на одно место не даст ни одного совпадения. Среднее объединяет результаты всех равновероятных раздач.

Складываем вклад каждого участника

011/12шанс своего конверта у одного

0212 участниковдвенадцать одинаковых средних вкладов

0312 × 1/12среднее число совпадений

Ответ

В среднем $1$ участник получает свой конверт.

Главная идея

Чтобы сложить средние вклады, не нужно предполагать независимость отдельных совпадений.

Как заметить эту идею в другой задаче

Просят среднее количество совпадений. Представьте общее количество суммой нулей и единиц для отдельных участников; их средние складываются и при зависимости.

Возможная ошибка

Принять среднее число за наиболее вероятный результат или за вероятность. Это три разных вопроса.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Если участников $30$ и все $30!$ раздач равновероятны, каким станет среднее число своих конвертов?

Ответ к дополнительной задаче

Оно снова равно $1$ шанс у каждого $\frac{1}{30}$ а участников $30$ Сумма средних вкладов равна $30\times \frac{1}{30}=1$

Продолжить тему: Вероятность →

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Продвинутая подготовка

Математическое ожидание
Вероятность равновозможных исходов

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →

Условие

Посчитайте одного человека

Сложите средние вклады

Разделите среднее и отдельный исход

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача