Договорились о часе, но не о минуте — разбор задачи

Условие

Двое независимо выбирают случайный момент прихода между $12{:}00$ и $13{:}00$ равномерно по всему часовому интервалу. Каждый после прихода ждёт ровно $15$ минут и уходит, если второй не пришёл. Ожидание может продолжаться после $13{:}00$ Какова вероятность, что они встретятся? Моменты прихода считаем непрерывными, а встречу при одновременном приходе одного и уходе другого засчитываем.

О задаче · Подростки и взрослые

Тема: Геометрическая вероятность
Для кого: Подростки и взрослые
Уровень библиотеки: Продвинутый · ориентир

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Вероятность как доля квадрата

Оси показывают минуты после полудня. У каждого квадратика одинаковой площади одинаковая вероятность.

1. Все пары моментов

Пара $(x,y)$ лежит в квадрате $0\le x,y\le60$ Его площадь $60^2=3600$

2. Условие встречи

Полоса между прямыми $y=x+15$ и $y=x-15$ задаёт $|x-y|\le15$

3. Дополнение проще

Вне полосы два равных прямоугольных треугольника с катетами $45$ Их площадь легче вычесть из площади всего квадрата.

Граничные линии включены в событие встречи, но их площадь равна нулю. Модель использует независимые равномерные моменты прихода.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте минуты прихода после $12{:}00$ через $x$ и $y$ При каком условии они встретятся?

Подсказка 2

Нарисуйте квадрат $0\le x\le60$ $0\le y\le60$ Где находятся точки с разницей времён больше $15$ минут?

Разобрать решение по шагам

Переведите ожидание в неравенство

Если первый пришёл в минуту $x$ а второй в минуту $y$ встреча состоится ровно при

|x-y|\le15.

Раньше пришедший должен дождаться позже пришедшего. Одинаковая длительность ожидания с обеих сторон делает условие симметричным.

Посчитайте более простую область

Независимость и равномерность означают, что пары $(x,y)$ равномерно распределены в квадрате со стороной $60$ Неудачные пары удовлетворяют $y>x+15$ или $x>y+15$ Это два прямоугольных треугольника у противоположных углов квадрата, каждый с катетами $60-15=45$ Их общая площадь равна

2\cdot\frac{45\cdot45}{2}=2025.

Найдите долю успешных пар

Площадь всего квадрата $3600$ Вероятность не встретиться равна

\frac{2025}{3600}=\frac9{16},

а встретиться —

1-\frac9{16}=\frac7{16}=43{,}75\,\%.

Граничные линии имеют нулевую площадь, поэтому выбранное соглашение о точном моменте ухода численного ответа не меняет.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

\frac{7}{16}=43{,}75\,\%.

Главная идея

Два независимых случайных числа удобно представлять точкой на плоскости; вероятность становится долей площади.

Как заметить эту идею в другой задаче

Два независимых момента равномерно выбираются из интервала. Изобразите пару моментов точкой квадрата, а условие встречи — полосой между двумя прямыми.

Возможная ошибка

Ответить $\frac{15}{60}$ или $\frac{30}{60}$ Доступное окно для второго зависит от времени прихода первого и обрезается у границ интервала.

Источник и примечания

Источник и редакция

Классическая задача. Формулировка и разбор — Popov Academy.

Проверь себя

Если каждый ждёт $30$ минут, как изменится вероятность?

Ответ к дополнительной задаче

Она станет $\frac{3}{4}$ У двух неудачных треугольников катеты теперь по $30$ минут, их общая площадь $900$ Успех: $1-\frac{900}{3600}=\frac{3}{4}$ .

Продолжить тему: Вероятность →

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Продвинутая подготовка

Площадь квадрата и треугольника
Независимый равномерный выбор

Приёмы решения: Координаты и проекции · Подсчёт дополнения

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Вероятность как доля квадрата

1. Все пары моментов

2. Условие встречи

3. Дополнение проще

Переведите ожидание в неравенство

Посчитайте более простую область

Найдите долю успешных пар

Источник и редакция

Условие

Дополнительная задача